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Schulinfos von F. Töns

23.03.2023

Mitschrift aus der heutigen Stunde:



Bestimme Extrempunkte und Wendepunkte von f:

f(x)    = (x²   -4) · eˣ

f'(x)   = (x²+2x-4) · eˣ

f''(x)  = (x²+4x-2) · eˣ

f'''(x) = (x²+6x+2) · eˣ



Notw. Bed. für Extrema:

         f'(x) = 0

(x²+2x-4) · eˣ = 0  | SvNP

 x²+2x-4 = 0           oder eˣ = 0 

 x₁ = -1+√5 bzw. x₂ =-1-√5       ↯

      

Hinr. Bed. für Extrema:

f'(x₁) = 0 und f''(x₁)≈15,39  → TP

f'(x₂) = 0 und f''(x₂)≈-0,175 → HP



Also Extrempunkte:

   TP(-1+√5|-8,51 ) HP(-1-√5| 0,25)



---------------------------------

Notw. Bed. für Wendepunkte:

             f''(x) = 0

     (x²+4x-2) · eˣ = 0 |SvNP

(x²+4x-2)= 0     oder eˣ = 0

x₃≈-4,45   x₄≈0,45       ↯



Hinr. Bed. für Wendepunkte:

f''(x₃) = 0   und f'''(x₃)≈7,679 RL-WP

f''(x₄) = 0   und f'''(x₄)≈-0,057  LR-WP



Also lauten die WP:

WP(-4,45 | 0,18  )

WP(0,45  | -5,95 )





------------------------------------

Verkettung von Funktionen

------------------------------------

Gegeben: f(x) = x·2ˣ

Setze jeweils ein:



x   | 3  | -2 | a   | 2x+7

----|----|----|-----|---------------

f(x)| 24 |-0,5|a·2ᵃ | (2x+7)·2⁽²ˣ⁺⁷⁾



Die Funktion k(x) = (2x+7)·2⁽²ˣ⁺⁷⁾

ist eine Verkettung der Funktionen

f(x) = x·2ˣ   mit g(x)=2x+7

Man schreibt: k(x) = f∘g



Gegeben: 

f(x) = x²   g(x)=2ˣ   h(x)=2x+7

Bilde:

a) f∘g     b) g∘f     c) g∘h

06.03.2023

Themen der Klausur am 13.03.2023:

Schwerpunktmäßig:
• Integralrechnung
• Exponentialfunktionen

Details:
• Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen können
• Integrale im Sachzusammenhang (z.B. mit einer Geschwindigkeitsfunktion auf die Strecke schließen / Aufgabe "Freefalltower")
• Flächenberechnungen mit Integrale (Fläche zwischen Funktion und x-Achse, Fläche zwischen zwei Funktionen (dabei ggf. erst Schnittstellen bestimmen!))
• Rechenregeln für Integrale sinnvoll anwenden können
• Integralgleichungen ( z.b. ∫(von 2 bis t) x² dx = 10 nach t auflösen können)
~~• Mittelwerte von Funktionen mit Hilfe von Integralen~~

• Potenzgesetze
• Exponentialfunktionen der Form f(x) = c·a hoch x : Zeichnen können, Zeichnungen einer Funktion zuordnen können, In welchen Fällen steigt oder fällt die Funktion monoton?
• natürliche Exponentialfunktion f(x) = e hoch x : Ableiten und Integrieren können.
• Exponentialgleichungen mit dem Logarithmus lösen können.
• Ableiten von Exponentialfunktionen der Form f(x) = c·a hoch x indem man die Basis zu e hoch ln(a) umschreibt und dann ableitet.
• Steckbriefaufgaben für Exponentialfunktionen (vgl. Aufgabentyp "abkühlendes Wasser im Topf")
• Anwendungsaufgaben (Vgl. Halbwertszeit, Verdopplungszeit)

Allgemein müssen natürlich Grundlagen beherrscht werden:
• Hoch-, Tief-, Sattel- und Wendepunkte bestimmen können
• Tangentengleichungen finden können
usw.

Übungen:
Arbeitsblatt "Freefalltower" und "Kochtopf"

Aufgaben aus dem Buch S93 Nr 1 und 2 und 3
Aufgaben aus dem Buch S97 Nr 1 und 2 und 3, S98 Nr5 und Nr10
Aufgaben aus dem Buch S101 Nr 2, 3, 6, 7, 9

$/!\$ Die Aufgabenmengen aus dem Lösungsarchiv spiegeln nicht die Gewichtung der Themen in der Klausur wider! (d.h. Es gibt zwar viele Exponentialgleichungen-Links aus dem Lösungsarchiv, aber das heißt nicht, dass die Klausur einen großen Anteil an Exponentialgleichungen enthalten wird)

Exponentialgleichungen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_7
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_8
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_9
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_10
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_11
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_12

Integrieren
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_5

Steckbriefaufgaben zu Exponentialfunktionen
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_2_5

30.11.2022

Themen der Klausur:
• Die Grundlagen aus der letzten Klausur müssen in der neuen Klausur auch beherrscht werden. Das bedeutet, dass prinzipiell alle Aufgaben aus der alten Klausur auch in dern neuen Klausur vorkommen können. Ausnahme:
••• Extremwertaufgaben kommen nicht dran.

Neue (oder vertiefte) Themen seit der letzten Klausur:
• Funktionenscharen, also Funktionen mit Parameter auf alle möglichen Eigenschaften untersuchen können (z.B. Nullstellen, Extrem- oder Wendepunkte). Dieses Thema wurde seit der letzten Klausur vertieft.
• "Steckbriefaufgaben" bzw. das Kapitel "Ganzrationale Funktionen bestimmen" (Also z.B. "finde eine Funktion mit Extrempunkt (2|4) und Wendepunkt (6|7)" )
• Bedeutung von Integralen im Sachzusammenhang (von Geschwindigkeitsfunktionen auf die gefahrene Strecke schließen, von Wachstumsraten auf gewachsene Größe schließen. Vgl. S48: Da sind sehr schöne Beispiele zusammengetragen.) Auch negative Werte von Integralen können im Sachzusammenhang sinnvoll sein.
• Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen können.
• Flächen mit Hilfe von Integralen berechnen. (Dabei Nullstellen bzw. Schnittstellen berücksichtigen und Betragstriche sinnvoll einsetzen).

Übungstipps aus dem Lösungsarchiv
Integrale:
~~http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_1_1~~ nicht!!
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_1
~~http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_2~~ nicht!!
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_3
~~http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_4~~ nicht!!
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_5

Steckbriefaufgaben:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_5

21.10.2022

Bild "Mathe_Q1_GK_Abi2024:20221020_ana_kurvenuntersuchung_9_h.png"

Und hier die Lösung:
20221020_ana_kurvenuntersuchung_9.png
( :neu:

Update: Sonntag, 23.10.2022: In der Lösung hatte sich ein Fehler eingeschlichen (eine falsche Wurzel(24) wurde durch Wurzel(6) ersetzt) Nun korrigiert)

Hier die Extremwertaufgabe:
20221021_extremwertaufgabe.jpg

16.10.2022