25.01.2026
Merke:
Sei f eine (mehrfach) differenzierbare Funktion.
- Dann beschreibt f' die Steigung der Tangenten an f. Wenn f' auf einem Intervall I nur positive Funktionwerte hat, dann steigt f auf I (und umgekehrt: neg. FktW. -> fällt). Wenn f' an einer Stelle = 0 ist, hat f dort eine lokale Maximalstelle, Minimalstelle oder aber auch einen Sattelpunkt.
- Dann sagt f'' etwas über das Krümmungsverhalten von f aus. Wenn f'' auf einem Intervall I nur positive Funktionswerte hat, dann ist f auf I linksgekrümmt (und umgekehrt: ... negative FktW. ... rechtsgekrümmt). Wenn f'' an einer Stelle = 0 ist, dann hat f dort eine Wendestelle oder aber auch eine "Flachstelle". Eine Wendestelle liegt nur dann vor, wenn an der fraglichen Stelle tatsächlich eine Extremstelle (keine Sattelstelle) bei f' vorliegt.
Möglichkeiten zum Nachweis von Extremstellen:
Zunächst untersucht man immer f' auf Nullstellen, da nur dort mögliche lokale Extremstellen vorliegen.
a) Wenn an einer Stelle xa nun f'(xa) = 0 gilt und f(xa) in der (ausreichend nahen) Nachbarschaft von xa der kleinste oder größte Funktionswert ist, dann hat f bei xa ein Extremum.
b) Wenn an einer Stelle xa nun f'(xa) = 0 gilt und f' dort einen Vorzeichenwechsel hat (Monotonietabelle), dann hat f bei xa ein Extremum.
c) Wenn an einer Stelle xa nun f'(xa) = 0 gilt ....
und f''(xa) > 0 ist, so hat f bei xa ein Maximum
und f''(xa) < 0 ist, so hat f bei xa ein Minimum
Achtung: Falls f'(xa) = 0 und f''(xa) = 0 gilt, so heißt das NICHT AUTOMATISCH, DASS f DORT EIN SATTELSTELLE HAT! In diesem Fall greift man auf Methode a oder b zurück.
(Beispiel für diese Art von Sonderfall: f(x) = x4, f'(0)=0 und f''(0) = 0 aber f hat bei x=0 einen Tiefpunkt.
Schickt mir Eure Leistungseinschätzung bitte über folgendes Rücksendeformular:
12.01.2026
Distanzunterricht am Montag, den 12.01.2026
Bitte erledigt die Hausaufgabe zu heute nochmal mit Hilfe einer KI (chatgpt.com beispielsweise oder auch andere) und lasst euch die hinreichende Bedingung einmal mit dem Vorzeichenwechselkriterium (so solltet ihr es ja in der Hausaufgabe erledigen) vorrechnen und einmal mit Hilfe der zweiten Ableitung. Lasst Euch die beiden Verfahren mit der KI ausführlich erklären (fragt bei Unklarheiten ggf. auch mehrfach bei der KI nach!) und bereitet für die nächste Mathestunde eine Antwort auf folgende Aufgabe vor: "Erkläre die beiden unterschiedlichen Hinreichenden Bedingungen, oder erläutere anhand eines Screenshots der KI, an welcher Stelle du die Erklärungen der KI nicht verstehst.". Ihr solltet also ggf. die Antwort der KI bereithalten!
Schickt mir bitte vorab einen Eindruck über folgendes Rücksendeformular:
18.12.2025
Liebe Klasse EFD,
ich bin heute unerwartet auf Exkursion. Als EVA-Aufgabe sollt ihr Folgendes erledigen:
In der letzten Mathestunde am vergangenen Montag haben wir die "Temperaturaufgabe" erledigt und als Hausaufgabe solltet ihr alle Aufgabenteile nochmal mit einer anderen Funktion erledigen. Die Rechnungen und deren Ergebnisse seht ihr unten. Allerdings fehlt dabei völlig eine Einordnung in den Kontext.
Hier zunächst die Rechnungen:
a) Es gilt: f'(x) = 0,4x - 1,6
Außerdem f'(x) = 0 <=> x = 4
Außerdem f(3) = 11,2 und f(4) = 11 und f(5) = 11,2
b) f'(3) = -0,4
c) f(x) = 16 <=> x=-1 oder x=9
d) f(23) = 83,2
Eure Aufgabe soll nun sein, in der untenstehenden Eingabebox die fehlenden Texte und Einordnungen hineinzuschreiben - es ist letztlich nur reiner Text verlangt, keine Rechnungen. Bitte tragt auf jeden Fall Euren Namen ein - sonst kann ich die Aufgaben nicht zuordnen und das Programm verwirft Eure Eingaben.
Schickt mir Eure Ergebnisse bitte über folgendes Rücksendeformular:
08.12.2025
Klausurvorbereitung:
Gegeben ist die Funktion
f(x)=0,4x² - 0.3x + 7
1) Bestimme den Differenzenquotienten im Intervall...
a) [ 2 ; 4 ]
b) [ 2 ; 3 ]
c) [ 2 ; 2,5 ]
2) Bestimme den Differenzenquotienten im Intervall [ 2 ; 2 + h ] und bilde den Grenzwert für h gegen Null.
3) Bestimme die Ableitung von f und bestimme
f '(2)
Lösungen:
20251208_EF_Klausurvorb2.jpg
04.12.2025
Themen für die kommende Klausur am 11.12.2025
Themen, die schon in der letzten Klausur vorkamen
• Grundlagen in der Rechentechnik: Bruchrechnung beherrschen, Ausmultiplizieren und Ausklammern können
• Funktionen, Wertetabellen und Funktionsgraphen:
• Umgang mit lineare Funktionen der Gestalt: f(x) = m·x + b wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Solche Geraden sollte man direkt zeichnen können.
Andersherum muss man aus einer Abbildung einer Geraden die Funktionsgleichung aufstellen können
• Die Funktion "Abrunden(x)" verstehen und anwenden können. Die Funktion s(x) = x-Abrunden(x) verstehen und anwenden können. Die Graphen dieser Funktionen zeichnen können.
• Umgang mit ganzrationalen Funktionen: Nullstellen bestimmen, Fernverhalten angeben können, Symmetrieeigenschaften angeben können.
• Auch von anderen Funktionen Wertetabelle erstellen und Funktionsgraph zeichnen können. (Beispielsweise f(x) = x² oder
f(x) = 1/x oder ähnliche Funktionen)
• Anwendung von Funktionen: Optimierungsprobleme mit dem Aufgabentyp "Schachtel". Hier muss man die Funktion aufstellen können, von der wir das Optimum suchen (z.B. das größte Schachtelvolumen) und den Zusammenhang verstehen, wenn in der Klausur ein Funktionsgraph dieser Funktion abgebildet wird (Erinnerung: Im Unterricht haben wir mit Hilfe einer Darstellung des Funktionsgraphen in Geogebra das Optimum aus dem Graphen abgelesen).
• Verschiebungen und Streckungen von Funktionen: Verschiebung in x-Richtung und y-Richtung, Streckung in y-Richtung im Funktionsterm darstellen.
• Quadratische Funktionen: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln und umgekehrt.
Themen, die neu dazukommen
• Bedeutung von Sekantensteigungen (mittlere Änderungsrate)
• h-Methode: Sekantensteigung durch zwei Punkte auf einer gegebenen Funktion. Beispielsweise (7|f(7)) und (7+h|f(7+h)) (dabei ist die 7 hier natürlich nur ein Beispiel und kann auch eine andere Zahl sein). Durch Grenwertbildung h -> 0 wird die Steigung der Tangente an einer bestimmten Stelle ermittelt.
• Graph der Ableitungsfunktion zu einem gegebenen Funktionsgraphen skizzieren können
• Bedeutung der Ableitungsfunktion (Steigung der Tangente an entsprechenden Stellen oder momentane Änderungsrate)
• Ableitungsregeln bei ganzrationalen Funktionen
• Aufgaben des Typs: Bestimme die Gleichung einer Tangente an den Graphen von f im Punkt ( bla | f(bla) )
• Nullstellen der Ableitungsfunktion bestimmen und schlussfolgern, dass ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt vorliegt.
:wichtig: Trainiert den Umgang mit dem Taschenrechner, insbesondere die Erstellung von Wertetabellen!
Übungstipps:
Alte Klausur
Ableitungsregeln
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_1_2
Aufgaben zu Tangenten
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_1_7
25.09.2025
Themen für die kommende Klausur am 02.10.2025
Themen der Analysis
• Grundlagen in der Rechentechnik: Bruchrechnung beherrschen, Ausmultiplizieren und Ausklammern können
• Funktionen, Wertetabellen und Funktionsgraphen:
• Umgang mit lineare Funktionen der Gestalt: f(x) = m·x + b wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Solche Geraden sollte man direkt zeichnen können. Andersherum muss man aus einer Abbildung einer Geraden die Funktionsgleichung aufstellen können
• Die Funktion "Abrunden(x)" verstehen und anwenden können. Die Funktion s(x) = x-Abrunden(x) verstehen und anwenden können. Die Graphen dieser Funktionen zeichnen können.
• Umgang mit ganzrationalen Funktionen: Nullstellen bestimmen, Fernverhalten angeben können, Symmetrieeigenschaften angeben können.
• Auch von anderen Funktionen Wertetabelle erstellen und Funktionsgraph zeichnen können. (Beispielsweise f(x) = x² oder f(x) = 1/x oder ähnliche Funktionen)
• Anwendung von Funktionen: Optimierungsprobleme mit dem Aufgabentyp "Schachtel". Hier muss man die Funktion aufstellen können, von der wir das Optimum suchen (z.B. das größte Schachtelvolumen) und den Zusammenhang verstehen, wenn in der Klausur ein Funktionsgraph dieser Funktion abgebildet wird (Erinnerung: Im Unterricht haben wir mit Hilfe einer Darstellung des Funktionsgraphen in Geogebra das Optimum aus dem Graphen abgelesen).
• Verschiebungen und Streckungen von Funktionen: Verschiebung in x-Richtung und y-Richtung, Streckung in y-Richtung im Funktionsterm darstellen.
• Quadratische Funktionen: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln und umgekehrt.
Hinweis: Da kein Taschenrechner erlaubt ist, sind alle Aufgaben in der Klausur mit den Rechenfähigkeiten aus der Sekundarstufe 1 lösbar.
Übungstipps:
Übungsaufgaben für die Grundlagen:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_5
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_1
Weitere Aufgabentypen, die drankommen können:
Aufgabe 1: Zeichne die Funktion
a) f(x) = Abrunden(x) - x + 1
b) f(x) = 2·(x-Abrunden(x)) - 1
c) f(x) = (x+0.2) - Abrunden(x+0.2)
Es ist auch vorstellbar, dass ich diese Aufgaben "umdrehe", Euch also Graphen vorlege, zu denen Ihr einen Funktionsterm angeben sollt.
Aufgabe 2: Aus einem quadratisches Stück Papier mit der Seitenlänge 9cm x 9cm soll (wie im Unterricht) eine Schachtel gebaut werden.
a) Berechne das Schachtelvolumen für den Randabstand x=1cm und x=2cm und x=3cm
b) Stelle eine Formel auf, mit der man direkt das Schachtelvolumen für einen beliebigen Wert von x berechnen kann.
c) Zeichne die Funktion in einem Funktionsplotter, lies das Maximum der Funktion ab und interpretiere den Wert im Sachkontext.
Training: Lösen quadratischer Gleichungen
https://www.plusplanet.de/mmm/
Übungsaufgabe zum Zeichnen von Funktionen:
20250930_funktion_zeichnen.jpg