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Schulinfos von F. Töns

19.03.2025

Themen der Klausur am 26.03:
Alte Themen, die aber nach wie vor relevant sind:
• Ableitungen bestimmen können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!) und Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion kennen. Ableitungen (anhand eines Graphen der Ursprungsfunktion) skizzieren können. Anhand der Ableitung Aussagen über die Ursprungsfunktion treffen und umgekehrt (auch, wenn nur die Graphen gegeben sind)
• Extrem- und Wendepunkte bestimmen können. Bedeutung dieser Punkte auch im Sachzusammenhang. Bei der hinreichenden Bedingung beide Arten anwenden können (also sowohl die Arbeit mit der zweiten bzw. dritten Ableitung als auch die Erstellung einer Monotonie- oder Krümmungstabelle). Ggf. Randwerte auf Extremwerte untersuchen.
• Tangentengleichungen bestimmen können (auch z.B. Wendetangenten)
• Weitere Eigenschaften von Funktionen: Fernverhalten und Symmetrie
• Biquadratische Gleichungen bzw. quadratische Substitution (also Gleichungen, wo man erst substituiert und dann die pq-Formel anwendet)
• Funktionenscharen: Aspekte der normalen Funktionsuntersuchung auch bei einfachen Funktionenscharen durchführen können. (hierzu werden keine kompletten Aufgaben gestellt. Aber in einer Teilaufgabe kann durchaus mal ein Parameter eingeführt werden)

Integralrechnung:
• Grundlagen der Integralrechnung: Von der Änderungsrate zur Ursprungsgröße - Integrale rein grafisch bestimmen bzw. abschätzen können. (Arbeitsblatt Fahrtenschreiber, Wachstumsgeschwindigkeit von Kindern) - Flächen unter Funktionsgraphen können eine Bedeutung im Sachzusammenhang haben.
~~• Flächen unter Funktionen mit Trapezen annähern.~~ (kommt nicht dran)
• Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen
• Integrale als (orientierte) Fläche zwischen Funktionsgraph und x-Achse
• Fläche zwischen zwei Funktionen: Formel ∫(p(x) - q(x)) dx nutzen!
• Mittelwerte von Funktionen
• Rechenregeln für Integrale. Kleine Erinnerung: https://www.youtube.com/watch?v=q14cg0DysFE

Exponentialfunktionen:
• Potenzgesetze können
• Funktionen wie "2 hoch x" oder "0,5 hoch x" zeichnen können.
• Wissen, dass "f(x) = e hoch x" eine besondere Funktion ist, die sich selbst als Ableitung hat: "f'(x) = e hoch x"
• Neue Ableitungsregel "Produktregel". Damit Funktionen wie f(x) = (x³ + x²)·e^x ableiten können
• Exponentialfunktionen untersuchen können.

Übungstipps:
• S73ff Nr 1,2,3b,4,6,7,11,12,13,14,16,19,20,21,22,23,24
• S104ff Nr 2,4,5,6,16

Integrale
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_3
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_4~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_5
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_2_6

Neue Ableitungsregel: Produktregel
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_2_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_2_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_2_2_3

Flächen zwischen Funktionen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_3_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_3_3_2

Untersuchung von Exponentialfunktionen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_5
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_11
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_3_12

Potenzgesetze und Exponentialgleichungen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_2
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_4
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_5
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_6
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_7
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_8
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_9
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_10
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_11
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_12
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_13
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_4_14

Biquadratische Gleichung
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3 :alt:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_4 :alt:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_5 :alt:

Funktionenscharen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_1 :alt:
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_2~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_3 :alt:
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_4~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_5 :wichtig: Nur Teil a)
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_6~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_7 :wichtig: Ohne Ortskurve
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_8~~
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_9~~

18.12.2025

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Für die Klausur hast Du höchstwahrscheinlich geübt. Mich interessiert, wie viel Zeit Du für's Üben (ohne Hausaufgaben oder Unterrichtszeit) aufgewendet hast:
Für die Klausur habe ich etwa ____ Stunden geübt.

Im Folgenden siehst Du viele Stichpunkte von Inhalten des Matheunterrichts. Bitte ergänze in den geschweiften Klammern eine Zahl zwischen 1 und 6 (Schulnoteneinteilung), mit der Du Dein Wissen und Können für das jeweilige Thema einschätzt: Dabei bedeutet 1 "sehr gut" und 6 "ungenügend".
{} Nullstellen (quadr. Gleichungen, x ausklammern, Satz vom Nullprodukt, biquadratische Gleichungen),
{} Ableitungen bestimmen
{} Bedeutung der 1. Ableitung (Tangentensteigung) und 2. Ableitung (Krümmung)
{} Bestimmung von Extrempunkten / Wendepunkten mitsamt sauberer Abhandlung der notwendigen und hinreichenden Bedingung.
{} Einfache Symmetrie (also Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie zum Nullpunkt) nachweisen können 
{} -> durch Untersuchung der Exponenten bei ganzrationalen Funktionen
{} -> durch Untersuchung der Beziehung f(x) = f(-x) bzw. f(x) = - f(-x)
{} Transformationen in x und y Richtung
{} Streckungen / Stauchungen
{} Spiegelungen als Streckung mit dem Faktor (-1)
{} Fernverhalten bestimmen.
{} Kurven skizzieren können.
{} Funktionsgleichungen von Tangenten (und Normalen) in einem Punkt eines Graphen bestimmen können.
{} Unterschied durchschnittliche Änderungsrate (Sekantensteigung) und momentane Änderungsrate (Ableitung) kennen und anwenden können.
{} Randwertprobleme bei begrenztem Definitionsbereich. 
{} Extremwertaufgaben: Funktionen aufstellen und untersuchen können.
{} Kurvenscharen: Alle Aspekte der Kurvendiskussion bei ganzrationalen Funktionen auch mit Parameter durchführen können

03.12.2025

Übung für die Unterrichtsstunde am 03.12.2025

Die Funktion f(x) = Wurzel(4-x²) beschreibt einen Halbkreis mit Radius 2 um den Koordinatenursprung.
a) Nähere die Fläche zwischen dem Graphen dieser Funktion und der x-Achse im Intervall von 0 bis 2 an, indem Du 4 (oder mehr!) Trapeze benutzt.
b) Angenommen, man kennt die Formel für die Fläche von Kreisen (Nämlich A = pi * r²), aber leider kennt man die Zahl pi nicht mehr. Welcher Wert für pi würde sich aus deiner Annäherung der Fläche des Viertelkreises ergeben?

27.11.2025

Themen der Klausur am 04.12:
Themen, die bereits bei der letzten Klausur abgefragt wurden:
• Ableitungen bestimmen können (Vorsicht: Funktion ggf. vorher in Standardform bringen!) und Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung einer Funktion kennen. Ableitungen (anhand eines Graphen der Ursprungsfunktion) skizzieren können. Anhand der Ableitung Aussagen über die Ursprungsfunktion treffen und umgekehrt (auch, wenn nur die Graphen gegeben sind)
• Extrem- und Wendepunkte bestimmen können. Bedeutung dieser Punkte auch im Sachzusammenhang. Bei der hinreichenden Bedingung beide Arten anwenden können (also sowohl die Arbeit mit der zweiten bzw. dritten Ableitung als auch die Erstellung einer Monotonie- oder Krümmungstabelle). Ggf. Randwerte auf Extremwerte untersuchen.
• Tangentengleichungen bestimmen können (auch z.B. Wendetangenten)
~~• Extremwertaufgaben ("Ziegenwiese", "Schachtel", etc.)~~  Kommt nicht dran!
• Weitere Eigenschaften von Funktionen: Fernverhalten und Symmetrie
• Steckbriefaufgaben: ganzrat. Funktionen finden, deren Graphen durch 3 Punkte verlaufen. Das entstehende LGS muss per Hand gelöst werden können.  :wichtig: Hier wird das Thema erweitert, s.u.

Themen, die neu dazukommen:
• Steckbriefaufgaben: ganzrat. Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften finden (z.B. mit einem bestimmten Extrempunkt o.ä.)
• Biquadratische Gleichungen bzw. quadratische Substitution (also Gleichungen, wo man erst substituiert und dann die pq-Formel anwendet)
• Funktionenscharen: Aspekte der normalen Funktionsuntersuchung auch bei einfachen Funktionenscharen durchführen können.
• Grundlagen der Integralrechnung: Von der Änderungsrate zur Ursprungsgröße - Integrale rein grafisch bestimmen bzw. abschätzen können. (Arbeitsblatt Fahrtenschreiber, Wachstumsgeschwindigkeit von Kindern) - Flächen unter Funktionsgraphen können eine Bedeutung im Sachzusammenhang haben.
• Flächen unter Funktionen mit Trapezen annähern.

Übungstipps:
• alte Klausur
• alte Aufgaben aus dem Lösungsarchiv (siehe Links zum Lösungsarchiv bei den alten Klausurthemen)
• S46 im Buch  :neu:  🤓
• neue Aufgaben aus dem Lösungsarchiv:

Biquadratische Gleichung
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_3
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_4  :neu:
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_3_5  :neu:

Lineare Gleichungssysteme
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_1
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_5_2

Funktionenscharen
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_1
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_2~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_3
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_4~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_5  :wichtig: Nur Teil a)
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_6~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_7  :wichtig: Ohne Ortskurve
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_8~~
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_4_2_9~~

Steckbriefaufgaben
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_1
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_2~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_3
~~https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_4~~
https://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_5_1_5

02.10.2025

12.08.2022

Vokabeln und Vereinbarungen in der Mathematik

Vokabeln
„Punkt“ und „Stelle“: Ein Punkt besteht aus x- und y-Koordinate, eine Stelle ist nur die x-Koordinate.
Beispiel: f(x) = -2x + 6 hat die Nullstelle x=3.
Die Funktion f(x) = x²+1 hat ihren Scheitelpunkt im Punkt (0|1)

„Notwendige Bedingung“ und „Hinreichende Bedingung“: Oft möchte man Aussagen über mathematisch beschreibbare Objekte (Funktionen, Gleichungen, Zahlen, geometrische Figuren etc.) in folgender Form machen:
Wenn (Objekt) die Eigenschaft A hat, dann hat es auch die Eigenschaft B.
In diesem Fall kann man sagen: Die Eigenschaft A ist hinreichend für Eigenschaft B.
Beispiel: Wenn eine Person einen LKW-Führerschein besitzt, so ist diese Person mindestens 18 Jahre alt. Die Umkehrung ist falsch: ~~Wenn jemand mindestens 18 Jahre alt ist, so hat die Person auch einen LKW-Führerschein~~. Anders gesagt: Die Eigenschaft "besitzt LKW-Führerschein" ist hinreichend für die Schlussfolgerung "Person ist mindestens 18".
Und man kann andersherum sagen: Eigenschaft B ist notwendig für Eigenschaft A
Beispiel: Die Eigenschaft "Person ist mindestens 18" ist notwendig für die Eigenschaft "besitzt LKW-Führerschein".
Oft interpretiert man notwendige Bedingungen andersherum: Wenn jemand noch keine 18 ist, kann die Person auch keinen LKW-Führerschein haben! (Nicht einmal die notwendige Bedingung ist erfüllt)

„Intervall“: Ein Intervall ist ein zusammenhängender Bereich von Werten (z.B. von x-Werten auf einer Achse).
Beispiele:
Das Intervall [2;3] Enthält die Zahlen 2, 2.1, 2.892834, 2,9 und auch 3
Das Intervall [2;3[ Enthält die Zahlen 2, 2.1, 2.892834, 2,9 aber nicht die 3

Zahlenmengen:
Natürliche Zahlen (Symbol ℕ): 1 2 3 4 5 6 7 (Die Null gehört je nach Autor dazu oder nicht)
Ganze Zahlen (Symbol ℤ): -1 0 1 -2 2 -3 3 usw.
Rationale Zahlen (Symbol ℚ): Alle als Bruch darstellbare Zahlen, aber nicht PI oder Wurzel aus 2
Reelle Zahlen (Symbol ℝ): Alle Zahlen auf der Zahlengeraden (also auch PI und Wurzel aus 2 etc.)
Komplexe Zahlen (Symbol ℂ ): (z.B. Wurzeln aus negativen Zahlen)

Dabei gilt: Natürliche Zahlen sind eine Teilmenge der Ganzen Zahlen. Die Ganzen Zahlen sind eine Teilmenge der Rationalen Zahlen usw.

Der Begriff „differenzierbar“ ist synonym zu „ableitbar“: Es gibt Funktionen, die an bestimmten Stellen nicht ableitbar bzw. nicht differenzierbar sind.
Beispiel: Die Funktion f(x) = | x² - 1 | hat zwei Stellen, an denen sie nicht differenzierbar sind.