$ \newcommand{\myvec}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} $ (##) Beispiel: vierfache Münzwurf mit gezinkter Münze Gegeben ist eine Münze, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 60% "Zahl" zeigt (und folglich mit 40% also Kopf). Diese Münze wird vier mal hintereinander geworfen. Bestimme jeweils mit Hilfe eines Baumes die Wahrscheinlichkeiten für 0-mal, 1-mal, 2-mal, 3-mal und 4-mal Zahl!

Der Baum ist insgesamt vierstufig und hat folgende 16 verschiedene Pfade:
→ 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^4 \cdot 0,4^0 = 0,1296 $
→ 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^3 \cdot 0,4^1 = 0,0864 $
→ 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^3 \cdot 0,4^1 = 0,0864 $
→ 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^2 \cdot 0,4^2 = 0,0576 $
→ 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^3 \cdot 0,4^1 = 0,0864 $
→ 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^2 \cdot 0,4^2 = 0,0576 $
→ 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^2 \cdot 0,4^2 = 0,0576 $
→ 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^1 \cdot 0,4^3 = 0,0384 $
→ 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^3 \cdot 0,4^1 = 0,0864 $
→ 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^2 \cdot 0,4^2 = 0,0576 $
→ 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^2 \cdot 0,4^2 = 0,0576 $
→ 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^1 \cdot 0,4^3 = 0,0384 $
→ 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^2 \cdot 0,4^2 = 0,0576 $
→ 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^1 \cdot 0,4^3 = 0,0384 $
→ 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,6 → Zahl • p= $ 0,6^1 \cdot 0,4^3 = 0,0384 $
→ 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf → 0,4 → Kopf • p= $ 0,6^0 \cdot 0,4^4 = 0,0256 $

Wenn man den Baum wirklich zeichnet, so sollte man die hier benutzte Reihenfolge einhalten, da man so viel systematischer arbeiten kann.

Die Wahrscheinlichkeit für z.B. zwei Mal Zahl erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten aller Pfade addiert, die zwei Mal Zahl enthalten, also ZZKK, ZKZK, ZKKZ, KZZK, KZKZ, KKZZ. Damit erhält man insgesamt folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

|Anzahl "Zahl" | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |-------------------|--------|--------|--------|--------|--------| |Wahrscheinlichkeit | 0,0256 | 0,1536 | 0,3456 | 0,3456 | 0,1296 | Die Wahrscheinlichkeiten müssen aufaddiert nun die Summe 1 ergeben.

Als Zusatzaufgabe könnte man nun die Frage stellen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass vier mal die gleiche Seite zu sehen ist. Dies löst man so:

Das Ereignis "vier mal die gleiche Seite" könnten wir mit dem Buchstaben E benennen. Das Ereignis lässt sich als Zusammenfassung der Einzelergebnisse "0 mal Zahl" und "4 mal Zahl" beschreiben:
E = "vier mal die gleiche Seite" = {0,4}
und P(E) = P(0) + P(4) = 0,0256 + 0,1296 = 0,1552 $ \approx $ 16%

Rein interessehalber: Die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis "Nicht alle Münzen zeigen die gleiche Seite" bestimmt man so:

$ P( \bar{E} ) = 1 - P(E) \approx 84 \% $