(##) Mengen und Tupel
Angenommen, ein Computer kann eine Liste von Eingaben entweder als Menge oder als Tupel abspeichern. Welche Art ist bei den folgenden Beispielen zu wählen?
• Fotos für ein Album oder eine Bildergeschichte
• Musik-Playlist für den MP3-Player
• Ideen für den EF-Wandertag, die beim Brainstorming herauskommen
• In der Schule vertretene Nationalitäten
Notiere Beispiele für diese Mengen / Tupel!
"Bildergeschichte" = (Flughafen Düsseldorf, Flughafen New York, Freiheitsstatue)
"Playlist" =
"Ideen" =
"Schul-Nationalitäten" =
Gegeben sind die Mengen A={1,2,3} und B={2,4,6}, welche als Ereignisse der Ereignismenge S={1,2,3,4,5,6} bei normalem Würfelwurf angesehen werden können. (Mathematisch schreibt man das so: $ A \subset S $ d.h. A ist Teilmenge von S. Gib an:
$ A \cup B $
$ A \cup B = \{1,2,3,4,6\} $ "In A oder B oder in beiden Mengen enthalten"
$ A \cap B $
$ A \cap B = \{2\} $ "garantiert in beiden Mengen enthalten"
$ \bar{A} \cup B $
$ \bar{A} \cup B = \{4,5,6\} \cup \{2,4,6\} = \{2,4,5,6\} $ "In $ \bar{A} $ oder B oder in beiden Mengen enthalten"
(##) Beispiel für Mengenoperationen
A = Menge aller Jungs
B = Menge aller Brillenträger
$ A \cap B = \{ \text{Joachim, Viktor, Herr Töns} \} \quad $ also alle Personen, die männlich sind und gleichzeitig auch Brillen tragen.
$ A \cup B = \{ \text{Joachim, Aordykhan, Viktor, Phillip, Herr Töns, Maram, Jasmin, Emy ... } \} $ also alle Personen, die eine Brille tragen oder männlich sind. (In der Umgangssprache meint "oder" oft ein "entweder oder" - aber im mathematischen Zusammenhang ist das einfache "oder" großzügiger: Man könnte also besser formulieren: "alle Personen, die eine Brille tragen oder männlich sind oder beide Eigenschaften gleichzeitig besitzen")
(##) Aufgabe 9 aus dem Skript
Wir definieren die Ereignisse:
M = "Mehr als ein Viertel Euro"
Z0 = "Ziffer 0 enthalten"
Z5 = "Ziffer 5 enthalten"
G = "gerade Zahl"
$ P(M) = \frac{1}{6} $
$ P_{Z0}(M) = \frac{1}{3} $ Denn nur eines der drei Geldstücke (10,20,50) ist über ein Viertel Euro
$ P_{Z5}(M) = \frac{1}{2} $ Denn es kommen nur noch 5 und 50 cent in Frage
$ P_G(M) = \frac{1}{4} $ Es kommen nur noch 4 Münzen in Frage 2,10,20,50. Davon ist nur eine mehr als ein Viertel Euro wert.
$ P(Z5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
$ P_M(Z5) = 1 = 100 $ Prozent. Denn wenn man weiß, dass nur noch die 50ct Münze in Frage kommt ist das Ereignis Z5 sicher!
(#) Bedingte Wahrscheinlichkeiten
(##) Übung "Mediziner aus Akademikerhaushalten"
Achtung: Fantasiedaten!
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger GBG-Schüler(in) Medizin studieren wird (Ereignis M), liegt bei 2 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein GBG-Schüler(in) Medizin studieren wird, wenn die Eltern Akademiker (Ereignis A) sind, liegt bei 3 Prozent.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein GBG-Schüler(in) Akademikereltern besitzt, beträgt 25 Prozent.
**Berechnungen:**
Aus dem Text kann man folgende Wahrscheinlichkeiten herauslesen:
Wir erinnern uns an die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
$ P_A(M) = \frac{P(A \cap M)}{P(A)} $
Man setzt nun die obigen Zahlen ein und erhält:
$ 0,03 = \frac{P(A \cap M)}{0,25} $
Multiplikation der Gleichung mit 0,25 liefert:
$ 0,0075 = P(A \cap M) $
Diese Zahl, also $ P(A \cap M) $ , bedeutet:
Diese 0,0075 = 0,75% ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Schüler des GBG *gleichzeitig* Mediziner wird *und* Akademikereltern hat. Dies ist etwas anderes als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Akademikerkind Medizinstudent wird. (Bei den 0,75% wählen wir sozusagen aus der Gesamtmenge der GBG-Schüler aus, während die 3% sich nur auf die Menge der Schüler mit Akademikereltern bezieht.
Wir können noch etwas anderes berechnen, indem wir die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten "andersherum" benutzen:
$ P_M(A) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)} $
Man setzt nun die obigen Zahlen ein und erhält:
$ P_M(A) = \frac{0,0075}{0,02} \quad = 0,375 $
Diese Zahl bedeutet:
Die Wahrscheinlichkeit, dass jemand Akademikereltern hat, wenn diese Person Mediziner ist, liegt bei 37,5%.
(##) Übung "Rauchen und Krankheit"
Vorweg: Die in der Aufgabe angegebenen Zahlen sind komplette Fantasiedaten! Die Wirklichkeit ist deutlich komplexer! (Was genau ist ein Raucher? Wieviele Zigaretten? Welche Erkrankung in welchem Stadium? etc. )
Von einer bestimmten Erkrankung E vermutet man, dass sie durch Rauchen begünstigt wird. Man führt daher in Deutschland Studien durch und erhält folgende Daten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Raucher (R) ist, liegt bei 20%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person die Erkrankung E hat, liegt bei 1%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person sowohl Raucher ist und gleichzeitig die Erkrankung E hat, liegt bei 0,9%.
Gib an: P(R) , P(E) , $ P(R \cap E) $
Berechne: $ P_E (R) $ , $ P_R (E) $ und interpretiere die Ergebnisse.
**Lösung**
Aus dem Text kann man direkt herauslesen, dass:
$ P(R) = 0,2 $
$ P(E) = 0,01 $
$ P(R \cap E) = 0,009 $
Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit im vorliegenden Fall:
$ P_E (R) = \frac{P(R \cap E)}{P(E)} = \frac{0,009}{0,01} = 0,9 = 90\% $
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der die Krankheit E bereits hat, auch ein Raucher ist.
Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit im vorliegenden Fall:
$ P_R (L) = \frac{P(R \cap E)}{P(R)} = \frac{0,009}{0,2} = 0,045 = 4,5\% $
Dies ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand, der Raucher ist, auch an E erkrankt ist.