(##) Mengen und Tupel Angenommen, ein Computer kann eine Liste von Eingaben entweder als Menge oder als Tupel abspeichern. Welche Art ist bei den folgenden Beispielen zu wählen? • Fotos für ein Album oder eine Bildergeschichte
• Musik-Playlist für den MP3-Player
• Ideen für den EF-Wandertag, die beim Brainstorming herauskommen
• In der Schule vertretene Nationalitäten
Notiere Beispiele für diese Mengen / Tupel!
"Bildergeschichte" = (Flughafen Düsseldorf, Flughafen New York, Freiheitsstatue)
"Playlist" =
"Ideen" =
"Schul-Nationalitäten" =
Gegeben sind die Mengen A={1,2,3} und B={2,4,6}, welche als Ereignisse der Ereignismenge S={1,2,3,4,5,6} bei normalem Würfelwurf angesehen werden können. (Mathematisch schreibt man das so: $ A \subset S $ d.h. A ist Teilmenge von S. Gib an: $ A \cup B $
$ A \cap B $
$ \bar{A} \cup B $
$ A \cap \bar{B} $
$ A \cup A $
$ A \cap A $
$ A \cup \bar{A} $
$ A \cap \bar{A} $
(##) Beispiel für Mengenoperationen A = Menge aller Jungs B = Menge aller Brillenträger $ A \cap B = \{ \text{Joachim, Viktor, Herr Töns} \} \quad $ also alle Personen, die männlich sind und gleichzeitig auch Brillen tragen. $ A \cup B = \{ \text{Joachim, Aordykhan, Viktor, Phillip, Herr Töns, Maram, Jasmin, Emy ... } \} $ also alle Personen, die eine Brille tragen oder männlich sind. (In der Umgangssprache meint "oder" oft ein "entweder oder" - aber im mathematischen Zusammenhang ist das einfache "oder" großzügiger: Man könnte also besser formulieren: "alle Personen, die eine Brille tragen oder männlich sind oder beide Eigenschaften gleichzeitig besitzen") (##) Aufgabe 9 aus dem Skript Wir definieren die Ereignisse:
M = "Mehr als ein Viertel Euro"
Z0 = "Ziffer 0 enthalten"
Z5 = "Ziffer 5 enthalten"
G = "gerade Zahl"
$ P(M) = \frac{1}{6} $
$ P_{Z0}(M) = \frac{1}{3} $ Denn nur eines der drei Geldstücke (10,20,50) ist über ein Viertel Euro
$ P_{Z5}(M) = \frac{1}{2} $ Denn es kommen nur noch 5 und 50 cent in Frage
$ P_G(M) = \frac{1}{4} $ Es kommen nur noch 4 Münzen in Frage 2,10,20,50. Davon ist nur eine mehr als ein Viertel Euro wert.
$ P(Z5) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
$ P_M(Z5) = 1 = 100 $ Prozent. Denn wenn man weiß, dass nur noch die 50ct Münze in Frage kommt ist das Ereignis Z5 sicher!


(#) Bedingte Wahrscheinlichkeiten (##) Übung "Mediziner aus Akademikerhaushalten" Achtung: Fantasiedaten!
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger GBG-Schüler(in) Medizin studieren wird (Ereignis M), liegt bei 2 Prozent. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein GBG-Schüler(in) Medizin studieren wird, wenn die Eltern Akademiker (Ereignis A) sind, liegt bei 3 Prozent.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein GBG-Schüler(in) Akademikereltern besitzt, beträgt 25 Prozent.
**Berechnungen:** Aus dem Text kann man folgende Wahrscheinlichkeiten herauslesen:
Wir erinnern uns an die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten:
$ P_A(M) = \frac{P(A \cap M)}{P(A)} $
Man setzt nun die obigen Zahlen ein und erhält:
Diese Zahl, also $ P(A \cap M) $ , bedeutet:
Wir können noch etwas anderes berechnen, indem wir die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten "andersherum" benutzen:
$ P_M(A) = \frac{P(A \cap M)}{P(M)} $
Diese Zahl bedeutet:
(##) Übung "Rauchen und Krankheit" Vorweg: Die in der Aufgabe angegebenen Zahlen sind komplette Fantasiedaten! Die Wirklichkeit ist deutlich komplexer! (Was genau ist ein Raucher? Wieviele Zigaretten? Welche Erkrankung in welchem Stadium? etc. )
Von einer bestimmten Erkrankung E vermutet man, dass sie durch Rauchen begünstigt wird. Man führt daher in Deutschland Studien durch und erhält folgende Daten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person Raucher (R) ist, liegt bei 20%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person die Erkrankung E hat, liegt bei 1%.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person sowohl Raucher ist und gleichzeitig die Erkrankung E hat, liegt bei 0,9%.
Gib an: P(R) , P(E) , $ P(R \cap E) $
Berechne: $ P_E (R) $ , $ P_R (E) $ und interpretiere die Ergebnisse. **Lösung**