$ \newcommand{\myvec}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} $ (##) Teil der Hausaufgaben mit Anschlussübung: Gegeben: $ E_1 : \vec{x} = \myvec{ 0 \\ 0 \\ 0 } + r \myvec{ 0 \\ 8 \\ 8 } + s\myvec{ -8 \\ 0 \\ 8 } $
$ E_3 : \vec{x} = \myvec{ 0 \\ 0 \\ 8 } + p \myvec{ 0 \\ 8 \\ 0 } + q\myvec{ -8 \\ 0 \\ 0 } $ Gleichsetzen der beiden Ebenenengleichungen liefert:
$ \myvec{ 0 \\ 0 \\ 0 } + r \myvec{ 0 \\ 8 \\ 8 } + s\myvec{ -8 \\ 0 \\ 8 } = \myvec{ 0 \\ 0 \\ 8 } + p \myvec{ 0 \\ 8 \\ 0 } + q\myvec{ -8 \\ 0 \\ 0 } $ Nach Umformung in Standardform erhält man:
$ r \myvec{ 0 \\ 8 \\ 8 } + s\myvec{ -8 \\ 0 \\ 8 } - p \myvec{ 0 \\ 8 \\ 0 } - q\myvec{ -8 \\ 0 \\ 0 }= \myvec{ 0 \\ 0 \\ 8 } $ Und als Gleichungssystem geschrieben:
$$ \begin{align} {}& 0r + && (-8)s + && (-0)p + && 8q &= 0 \notag \\ {}& 8r + && 0s + && (-8)p + && (-0)q &= 0 \notag \\ {}& 8r + && 8s + && (-0)p + && (-0)q &= 8 \notag \\ \end{align} $$ Wir lassen die Null-Koeffizienten weg und teilen jede Gleichung durch 8: $$ \begin{align} {}& {} && (-s) + && {} && q &= 0 \notag \\ {}& r + && {} && (-p) && {} &= 0 \notag \\ {}& r + && s + && {} && {} &= 1 \notag \\ \end{align} $$ Bei diesem Gleichungssystem liegt schon eine Zeilenstufenform vor! Man kann z.B. sehen, dass in Gleichung 2 der Parameter q fehlt, und in Gleichung 3 Parameter q *und* p. In Gleichung 3 sehen wir nun, dass wir r als Parameter wählen können, denn:
Durch Festlegung von r liegt auch s fest (Gleichung 3)
Durch feste Werte von r und s liegt dann auch p fest (Gleichung 2)
Durch feste Werte von r und und p liegt schließlich auch q fest (Gleichung 1)
Kurz: Das LGS hat unendlich viele Lösungen, wobei man für die Beschreibung der Lösungen nur **einen** Parameter benötigt. Für die beiden Ebenen bedeutet das, dass sie sich in einer geraden schneiden. Die Lösungsmenge ermittelt man nun so:

Durch Wahl von r als Parameter können wir Gleichung 3 umformen zu: $ s = 1 - r $
Durch Wahl von r als Parameter können wir Gleichung 2 umformen zu: $ p = r $
Einsetzen des Terms für s in Gleichung 1 liefert: $ q = 1 - r $

Wir wollen nun die Schnittgerade bestimmen. Lösungstipps:

Da man weiß, dass das Schnittgebilde eine *Gerade* ist, genügen zwei Punkte, um die Geradengleichung der Schnittgeraden aufzustellen. Mit Hilfe der Lösungsmenge können wir nun einfach zwei Punkte auf einer der beiden Ebenen erzeugen. Wir wählen für unseren Parameter r zwei unterschiedliche Zahlen, so dass wir jeweils das dazugehörige s herausbekommen. Diese Werte kann man nun in $ E_1 $ einsetzen, um zwei Punkte zu erzeugen.

Lösung:

Wahl von r = 0 liefert s = 1. Setzt man diese Kombination in $ E_1 $ ein, so erhält man $ P_1 (-8 | 0 | 8) $
Wahl von r = 1 liefert s = 0. Setzt man diese Kombination in $ E_1 $ ein, so erhält man $ P_2 (0 | 8 | 8) $ Die Schnittgerade lautet: $ g_S : \vec{x} = \vec{O P_1} \quad + t \cdot \vec{P_1 P_2} = \myvec{ -8 \\ 0 \\ 8 }\quad + r \cdot \myvec{ 8 \\ 8 \\ 0 } $ Hinweis: Wählt man für den Parameter andere Zahlen, so erhält man auch andere Punkte $ P_1 $ und $ P_2 $ und damit auch eine andere Darstellung der Schnittgerade. Es handelt sich jedoch immer nur um ein und dieselbe Gerade - nur die Darstellung ist anders!