$ \newcommand{\myvec}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} $ (#) Steckbriefaufgaben (##) Parabel durch drei Punkte Die Grundidee bei Steckbriefaufgaben ist, dass man zu einer Reihe von Bedingungen eine Funktion finden muss, die diese Bedingungen erfüllt. Eine klassische Problemstellung ist das Finden der Funktion einer Parabel, welche durch drei vorgegebene Punkte verläuft: Gegeben sind die Punkte P(2|8) Q(3|9) R(4|8).
Gesucht ist die Funktion einer Parabel (also eine quadratische Funktion), die durch diese Punkte verläuft. **Lösung:** Zunächst benötigen wir die allgemeine Form einer quadratischen Funktion (also praktisch eine Schablone): $ p(x) = ax^2 + bx + c $
Von dieser Funktion sind also die Zahlen a, b und c noch unbekannt. Nun verwerten wir die drei Bedingungen (die drei Punkte). Wenn eine Funktion durch einen gegebenen Punkt verlaufen soll, so muss es möglich sein, den x-Wert des Punktes in die Funktion einzusetzen, so dass der y-Wert des Punktes herauskommt. Wir stellen also (für unsere noch unbekannte Funktion p) folgende drei Gleichungen auf:
$ p(2) = 8 $
$ p(3) = 9 $
$ p(4) = 8 $ Wir ersetzen die linke Seite jeweils durch die allgemeine Form, wo die x-Werte entsprechend ersetzt wurden: $ a\cdot 2^2 + b\cdot 2 + c = 8 $
$ a\cdot 3^2 + b\cdot 3 + c = 9 $
$ a\cdot 4^2 + b\cdot 4 + c = 8 $ Die quadrierten x-Werte kann man noch ausrechnen und als Vorfaktor vor den noch unbekannten Werten a, b und c schreiben: $ 4a \;\; + 2b + c = 8 $
$ 9a \;\; + 3b + c = 9 $
$ 16a + 4b + c = 8 $ Dies ist nun ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, welches man lösen muss. (Hinweis: Das Lösen eines Gleichungssystems bedeutet, eine Kombination von a-,b- und c-Werten zu finden, dass jede Gleichung gleichzeitig erfüllt ist)
Gleichungssysteme kann man "per Hand" ohne GTR-Hilfe lösen - was einerseits etwas aufwändig ist aber andererseits gemäß der Abiturvorgaben beherrscht werden muss. Um aber jetzt schnell zum Ziel zu kommen, lassen wir den GTR arbeiten und erhalten die Lösung: a = -1, b = 6, c = 0. Damit lautet unsere gesuchte Gleichung:
$ p(x) = (-1)\cdot x^2 + 6\cdot x + 0 $ oder kurz:
$ p(x) = -x^2 + 6x $
**Übung:**
Gegeben sind die Punkte P(3|8) Q(4|9) R(5|8).
Gesucht ist die Funktion einer Parabel (also eine quadratische Funktion), die durch diese Punkte verläuft. Lösung:
$ p(3) = 8 $
$ p(4) = 9 $
$ p(5) = 8 $ $ 9a \;\; + 3b + c = 8 $
$ 16a + 4b + c = 9 $
$ 25a + 5b + c = 8 $ Lösung des LGS: a = -1 , b = 8, c = -7 .
Gesuchte Funktion: $ p(x) = -x^2 + 8x - 7 $ **Übung:**
Gegeben sind die Punkte P(3|8) Q(4|9) R(5|8) S(6|9).
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch diese Punkte verläuft.
Lösung: $ f(x) = \frac{2}{3} x^3 - 9x^2 + \frac{118}{3} x - 47 $ **Übung:**
Gegeben sind die Punkte P(3|8) S(6|9).
Gesucht ist die Funktion einer Parabel (also eine quadratische Funktion), die durch diese Punkte verläuft, wobei im Punkt S der Scheitelpunkt liegen soll.
**Lösung** Außer den beiden offensichtlichen Gleichungen für die beiden Punkte wissen wir außerdem, dass die Ableitung an der Stelle 6 gleich Null sein muss, da dort ja ein Extrempunkt vorliegt. Die drei Bedingungen lauten also:
$ f(3) = 8 $
$ f(6) = 9 $
$ f'(6) = 0 $
Die allgemeine Form einer Parabelgleichung ist:
$ f(x) = ax^2 + bx + c $
und die allgemeine Form der Ableitung ist:
$ f'(x) = 2ax + b $
$ 9a \;\; + 3b + c = 8 $
$ 36a + 6b + c = 9 $
$ 12a + b \quad\quad = 0 $
Der Taschenrechner liefert für dieses Gleichungssystem die Lösung:
$ a = -\frac{1}{9} \quad b=\frac{4}{3} \quad c = 5 $
Die gesuchte Funktion lautet also:
$ f(x) = -\frac{1}{9} x^2 + \frac{4}{3}x + 5 $




**Übung:**
Gegeben sind die Punkte P(3|8) S(6|9).
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch diese Punkte verläuft und außerdem punktsymmetrisch ist. **Übung:**
Gegeben sind die Punkte P(3|8) Q(4|9) S(6|9).
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph durch diese Punkte verläuft, wobei im Punkt S ein Extrempunkt liegen soll. **Lösung:**
(##) Übersetzungshilfe bei Steckbriefaufgaben Bei Steckbriefaufgaben kommen oft Formulierungen vor wie "Der Graph der gesuchten Funktion f hat einen Extrempunkt in S( 2 | 3 ) ". Aus dieser Information kann man schon zwei Gleichungen für ein Gleichungssystem konstruieren, nämlich:
$ f(2) = 3 $       d.h. der Graph verläuft durch S(2|3)
$ f'(2) = 0 $       d.h. die Ableitung muss an der Stelle x = 2 den Wert 0 haben, weil hier ja auch ein Extrempunkt vorliegen soll. Gib nun für folgende Formulierungen die dafür passenden Gleichungen an:
• ... verläuft durch P(4|7)
      → $ f(4) = 7 $ • ... hat eine Nullstelle bei x = 3
      → $ f(3) = 0 $ • ... schneidet die y-Achse bei 2
      → $ f(0) = 2 $ • ... schneidet die Gerade $ y= -3x -18 $ auf der y-Achse
      → $ f(0) = -18 $ da dies der y-Achsenabschnitt der Geraden ist und die gesuchte Funktion die Gerade genau dort schneien soll. • ... berührt die x-Achse an der Stelle x = 4
      → $ f(4) = 0 $
      → $ f'(4) = 0 $
• ... hat einen Tiefpunkt bei T(4|7)
      → $ f(4) = 7 $
      → $ f'(4) = 0 $
• ... hat einen Wendepunkt bei W(4|7)
      → $ f(4) = 7 $
      → $ f''(4) = 0 $
• ... besitzt im Punkt P(4|7) die Steigung 3
      → $ f(4) = 7 $
      → $ f'(4) = 3 $
• ... besitzt an der Stelle x=3 eine Wendetangente mit Steigung 1
      → $ f'(3) = 1 $
      → $ f''(3) = 0 $
• ... schneidet die erste Winkelhalbierende bei x = 2 senkrecht
• ... steht im Ursprung senkrecht auf der Parabel mit $ g(x) = 3x^2 - 4x $