(#) Steckbriefaufgaben (##) Die Rutsche  Es soll eine Rutsche konstruiert werden, welche aus einem Geradenstück (gestrichelt) und einem Parabelstück besteht. Für die Parabel gilt: $$ p(x) = (x-3)² \quad \text{für} \quad x \in \left[ 2;3 \right] $$ Für die Gerade gilt: $$ g(x) = mx + b \quad \text{für} \quad x \in \left[ 0;2 \right] $$ Finde die Steigung m und den y-Achsenabschnitt b der Gerade so, dass sich das Stück ohne Knick an die Parabel anschließt. Lösungstipps:

Aus der Aufgabe kann man für die Lage der Geraden zwei wichtige Informationen entnehmen.
Erstens muss die Gerade an dem Parabelstück genau anliegen, d.h. sie muss durch den Punkt (2|p(2)) verlaufen.
Zweitens muss die Gerade die gleiche Steigung haben wie die Tangente an p im Punkt (2|p(2)). Also bestimmt man als Vorarbeit schonmal: p(2), und p'(x)
Man findet: p(2) = 1, d.h. der "Verbindungspunkt" ist (2 | 1 ).
Für die Ableitung p' muss man p(x) erst ausmultiplizieren!
Die Tangentensteigung im Punkt (2 | 1) ist m = -2, was man mit p'(2) berechnet. Von der gesuchten Geraden kennt man nun die Steigung und einen Punkt.
Die allgemeine Form einer Geraden ist g(x) = mx + b wobei hier nun m bekannt ist. Außerdem muss g(2) = 1 gelten (Verbindungspunkt!). Damit erhält man dann den noch fehlenden Wert für b.

Lösung:

Es gilt p(2) = 1, d.h. der Verbindungspunkt lautet (2 | 1 ).
Außerdem gilt:
$ p(x) = (x-3)^2 = x^2 -6x + 9 $ und $ p'(x) = 2x - 6 $ und $ p'(2) = -2 $ . Wir suchen eine Gerade $ g(x) = mx + b $ mit Steigung $ m=-2 $ die durch (2 | 1 ) verläuft. Ansatz:
$ g(2) = 1 \quad \Leftrightarrow \quad (-2)\cdot 2 + b = 1 \quad \Leftrightarrow \quad b =5 $ Also gilt: $ g(x) = (-2)x + 5 $

(###) Anschlussübung Das Problem ist ähnlich wie oben, nur verändern wir ein paar Zahlen. Für die Parabel gilt: $$ p(x) = (x-3)² \quad \text{für} \quad x \in \left[ 2,5 \; ;3 \right] $$ Für die Gerade gilt: $$ g(x) = mx + b \quad \text{für} \quad x \in \left[ 0; \; 2,5 \right] $$ Lösung:

Der Verbindungspunkt lautet $ (2,5 | \frac{1}{4} ) $ .
$ p'(2,5) = -1 $ . $ g(x) = -x + 2,75 $

(###) Anschlussübung Das Problem ist ähnlich wie oben, nur verändern wir wieder ein paar Zahlen. Für die Parabel gilt: $$ p(x) = (x-5)² \quad \text{für} \quad x \in \left[ 4 ; 5 \right] $$ Für die Gerade gilt: $$ g(x) = mx + b \quad \text{für} \quad x \in \left[ 0; 4 \right] $$

Anhand der Intervalle erkennt man, dass die Stelle (der x-Wert), an dem die beiden Funktionen aufeinandertreffen, bei x= 4 liegt. Außerdem ist $ p(4) = 1 $ .
Der Verbindungspunkt lautet also $ ( 4 | 1 ) $ .
Die Steigung der gesuchten Geraden muss gleich der Steigung der Tangente an die Parabel im Verbindungspunkt sein. Wir berechnen diese Steigung nun so:
$ p'(4) = -2 $ .
Wir suchen also nun eine Gerade mit Steigung m = -2 , welche durch den Punkt ( 4 | 1 ) verläuft.
Allgemeine Form einer Geraden: y = mx + b
Einsetzen der bekannten Werte in diese Form liefert die Gleichung:
$ 1 = (-2) \cdot 4 + b $
Dies löst sich auf zu $ b = 9 $ . Damit lautet unsere gesuchte Gleichung:
$ g(x) = -2x + 9 $