(##) Die Ziegenwiese Teil 1 ![Abbildung](ana_extremwertaufg_ziegenwiese_ziegenwiese1.png width="15em") Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Es sind 100m Zaun verfügbar. Das eingezäunte Rechteck soll möglichst groß werden.

Mögliche Kombinationen: a=25m ..... b=50m ..... Fläche=1250m²
a=20m ..... b=60m ..... Fläche=1200m²
a=30m ..... b=40m ..... Fläche=1200m²
a=15m ..... b=70m ..... Fläche=1050m²
a frei ..... b=100-2a ..... Fläche= $ a \cdot b $
Damit ergibt sich die Flächenformel:
$ Fläche(a)= a \cdot (100-2a) $
oder $ f(x)= x \cdot (100-2x) = 100x - 2x² = -2x² + 100x $
Extrempunkt dieser Funktion:
$ f(x) = -2x² + 100x $
$ f'(x) = -4x + 100 $
Notwendige Bedingung für Extremstellen:
$ \begin{align}\quad f'(x) &= 0 \notag \\ -4x + 100 &= 0 \notag \\ \quad x &= 25 \notag \end{align} $
Bei x = 25 liegt also möglicherweise eine Extremstelle vor. Hinreichende Bedingung:
Monotonietabelle oder $ f''(x) $ oder Fernverhalten oder unser Wissen über quadratische Funktionen liefert: Bei x=25 liegt ein Maximum. Im Sachzusammenhang ist dies der Wert für a.
Der Wert für b muss lauten:
$ b= 100-2a = 100 - 2 \cdot 25 = 50 $
Der Flächeninhalt lautet: $ f(25) = 1250 $
(##) Die Ziegenwiese Teil 2 Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Es sind 250m Zaun verfügbar. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Das eingezäunte Rechteck soll möglichst groß werden. Rechteck-Fläche $ F = a \cdot b $
(Was soll extremal werden? Zielfunktion!) Drei Seiten Zaun: $ 250 = b + 2a $ (Nebenbedingung) Nebenbedingung umformen: $ \quad b = 250 - 2a $
Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen: $$ F(a) = a \cdot (250 - 2a) $$ Diese Funktion ist nur noch von einer einzigen Variablen abhängig. Und daher können wir sie mit bekannten Mitteln auf Extremwerte untersuchen! GTR liefert den HP(62,5 | 7812,5)
Im Sachkontext bedeutet das: Für a=62,5m erhält man den maximalen Flächeninhalt von 7812,5 m². Setzt man a = 62,5m in die obige Nebenbedingung ein, so erhält man b=125m. (##) Die Ziegenwiese Teil 3 ![Abbildung](ana_extremwertaufg_ziegenwiese_ziegenwiese2.png width="15em") Es soll wieder eine rechteckige Wiese an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Das Flussufer besteht aber leider aus Geröll (grau markiert), so dass die Ziege diesen Bereich nicht grasen kann. Es soll nun jene Zaunabmessung gefunden werden, bei der die **Nutzfläche** (weiß mit Ziege) möglichst groß wird. Vorgaben:
Es sind 100m Zaun verfügbar.
Der Uferstreifen ist d=4 Meter breit. Vorarbeit:
Zahlenbeispiele erzeugen: a=20m .... b=60m ..... Nutzfläche=960m²
a=14m .... b=72m ..... Nutzfläche=720m² Lösung:
A) Zielfunktion aufstellen ("Was soll maximal/minimal werden?")
Die Nutzfläche (d.h. eingezäunter Bereich minus Uferbereich) soll maximal werden: $$ N = (a-4) \cdot b = a \cdot b - 4\cdot b$$ B) Nebenbedingung formulieren ("Wie hängen die Variablen voneinander ab?")
Zusammenhang zwischen a und b: $$ 100 = b + 2a \quad \Leftrightarrow \quad b = 100-2a $$ C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen (nur noch eine Variable enthalten!) und Funktion untersuchen
$$ N(a) = (a-4) \cdot (100 - 2a) $$ Dies ist eine Funktion, die nur noch von der Variablen a abhängt. Extremwertsuche im GTR liefert:
HP( 27 | 1058 ) D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren. Diese Werte bedeuten im Sachkontext:
Für a=27m ergibt sich eine maximale Nutzfläche von 1058m². Der Wert für b wäre dann: $$ b = 100 - 2 \cdot 27 = 46 $$ (##) Die Ziegenwiese Teil 4 Bearbeite die obige Aufgabe noch einmal, diesmal allerdings mit anderen Vorgaben: Es sind 200m Zaun verfügbar.
Der Uferstreifen ist d=6 Meter breit. (##) Die Ziegenwiese Teil 5 ![Abbildung](ana_extremwertaufg_ziegenwiese_ziegenwiese1.png width="15em") Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Es soll eine Fläche von genau 1500m² eingezäunt werden. Der Zaunverbrauch soll dabei minimal werden!
Hinweis: Die Funktionsuntersuchung kann im GTR erfolgen. Vorarbeit - Zahlenbeispiele:
a=50m .... b=30m ..... Zaunverbrauch=130m
a=10m .... b=150m .... Zaunverbrauch=170m
a=30m .... b=50m ..... Zaunverbrauch=110m
Lösung:
A) Zielfunktion aufstellen ("Was soll maximal/minimal werden?")
Der Zaunverbrauch soll minimal werden:
$$ V = 2a + b $$ B) Nebenbedingung formulieren ("Wie hängen die Variablen voneinander ab?")
$$ 1500 = a \cdot b \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1500}{a} = b $$ C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen (nur noch eine Variable enthalten!) und Funktion untersuchen
$$ V(a) = 2a + \frac{1500}{a} $$ GTR liefert den TP(27,39 | 109,54 ) D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.
Wählt man a = 27,39 Meter, so kann man die 1500m² mit dem minimalen Zaunverbrauch von 109,54 Meter einzäunen. In diesem Fall berechnet sich b mit der Formel aus der Nebenbedingung: $ b = \frac{1500}{a} = 54,76 $ Meter. (##) Die Ziegenwiese Teil 6 ![Abbildung](ana_extremwertaufg_ziegenwiese_ziegenwiese2.png width="15em") Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Es soll eine Fläche von genau 1500m² eingezäunt werden. Außerdem ist ein Uferstreifen von d=4 Meter nicht als Grasfläche nutzbar. Ermittle die Maße, so dass der Zaunverbrauch dabei minimal wwird!
Hinweis: Die Funktionsuntersuchung kann im GTR erfolgen. (##) Die Papierschachtel ![Abbildung](ana_extremwertaufg_ziegenwiese_schachtel.png width="15em") Aus einem DinA3-Blatt (30cm breit und 42cm lang) soll eine Schachtel gebaut werden, indem man an allen vier Rändern eine Kante der Breite x hochklappt. Die an den Ecken entstehenden Quadrate mit Seitenlänge x können einfach weggeschnitten werden. Bestimme das x so, dass die entstehende Schachtel ein maximal großes Volumen erhält! Vorarbeit:
Zahlenbeispiele:
x=5cm ... Breite = 20cm .. Länge= 32cm .. Vol: 3200cm³
x=6cm ... Breite = 18cm .. Länge= 30cm .. Vol: 3240cm³
x=3cm ... Breite = 24cm .. Länge= 36cm .. Vol: 2592cm³
x=5,8cm ... Breite = 18,4cm .. Länge= 30,4cm .. Vol: 3244,229cm³ Lösung:
A) Zielfunktion aufstellen ("Was soll maximal/minimal werden?")
$ V = a \cdot b \cdot c $   oder   V = Länge x Breite x Höhe
B) Nebenbedingung formulieren ("Wie hängen die Variablen voneinander ab?")
Höhe = x
Länge = 42 - 2x
Breite = 30 - 2x
C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen (nur noch eine Variable enthalten!) und Funktion untersuchen
$ V = (42-2x) \cdot (30-2x) \cdot x $
Untersuchung im GTR: Zunächst im Grafikmenü das Betrachtungsfenster richtig einstellen.
Z.B. $ x \in \left[ 0 ; 30 \right] $ und
$ y \in \left[ 0 ; 3000 \right] $
liefert den HP( 5,76 | 3244,4 ) D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.
Das maximale Volumen der Papierschachtel beträgt 3244,4cm³. Dabei wird ein Randabstand x von ca. 5,76 cm benötigt. In diesem Fall beträgt die Breite 18,48cm und die Länge 30,48cm . (##) Die Blumenvase (Volumen festgelegt) Eine Blumenvase soll exakt 2 Liter = 2000cm³ Volumen haben. Die Vase ist quaderförmig mit **quadratischer** Grundfläche (also auch wenn es in der Abbildung nicht so aussieht: alle vier "Bodenkanten" haben die Länge a). Die Höhe der Vase wird mit h bezeichnet. Berechne die Maße so, dass möglichst wenig Material (also Oberfläche) verbraucht wird. Die Vase ist oben offen, so dass es also nur fünf Flächen gibt: Den Boden plus die vier sichtbaren Seiten. ***************** * +------+ * * /| /| * * / | / | * * +------+ | * * | | | | h * * | | | | * * | | | | * * | +---|--+ * * | / | / * * |/ |/ a * * +------+ * * a * ***************** **Vorarbeit: Zahlenbeispiele**
a=10cm ... h=20cm ... A=900cm² ... Vol: 2000cm³
**Lösung:**
**A) Zielfunktion aufstellen**

Oberfläche:
$ F = 4 \cdot \text{Seitenfläche} + \text{Boden} $
(Also insgesamt fünf Flächen, da der "Deckel" offen ist.) Als Formel:
$ F = 4 \cdot (a \cdot h) \quad + a \cdot a $
(Eine Seitenfläche ist ein Rechteck mit der Fläche a·h und der Boden ist ein Quadrat mit der Fläche a·a

**B) Nebenbedingung formulieren**

Das Volumen der Vase soll 2000cm³ betragen. Das Volumen der Vase (die ja ein Quader ist), berechnet sich mit der Volumenformel für einen Quader:
$ \text{Volumen} = \text{Breite} \cdot \text{Länge} \cdot \text{Höhe} $
Konkret mit unseren Variablen heißt das:
$ 2000 = a \cdot a \cdot h \quad \Leftrightarrow \quad h = \frac{2000}{a^2} $

**C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen und Funktion untersuchen**

$ F(a) = 4 \cdot (a \cdot \frac{2000}{a^2}) + a \cdot a $

**D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.**

Im GTR sucht man das Minimum der Funktion F(a) und findet folgende Werte:
Für $ a_{min} \approx 15,874\text{cm} $ wird die minimale Oberfläche $ F(a_{min}) \approx 755,9526 \text{cm}^2 $ erreicht. Für die Höhe gilt dann $ h \approx \frac{2000}{15,874^2} = 7,937\text{cm} $

(##) Die Blumenvase (Oberfläche festgelegt) Eine Blumenvase soll exakt 1000cm² Oberfläche haben. Die Vase ist quaderförmig mit **quadratischer** Grundfläche (also auch wenn es in der Abbildung nicht so aussieht: alle vier "Bodenkanten" haben die Länge a). Die Höhe der Vase wird mit h bezeichnet. Berechne die Maße so, dass ein möglichst großes Volumen erzeugt wird. Die Vase ist oben offen, so dass es also nur fünf Flächen gibt: Den Boden plus die vier sichtbaren Seiten. ***************** * +------+ * * /| /| * * / | / | * * +------+ | * * | | | | h * * | | | | * * | | | | * * | +---|--+ * * | / | / * * |/ |/ a * * +------+ * * a * ***************** **Vorarbeit: Zahlenbeispiele**

a=10cm ... h=22,5cm ... Vol: 2250cm³ ... A=1000cm²
a=4cm ... h=61,5cm ... Vol: 984cm³ ... A=1000cm²

**Lösung:**
**A) Zielfunktion aufstellen**

Das gesuchte Volumen ist das Volumen eines Quaders. Man benötigt also die Formel
$ V = \text{Breite} \cdot \text{Länge} \cdot \text{Höhe} = a \cdot a \cdot h $

**B) Nebenbedingung formulieren**

Die Oberfläche, die 1000cm² betragen soll, setzt sich aus vier Seitenflächen und einer Bodenfläche zusammen:
$ 4 \cdot \text{Seitenfläche} + \text{Boden} = 4 \cdot (a \cdot h) \quad + \quad (a \cdot a) = 1000 $
Umformung dieser Formel liefert:
$ h = \frac{1000 - a^2}{4a} $

**C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen und Funktion untersuchen**

$ V(a) = a \cdot a \cdot \frac{1000 - a^2}{4a} $

**D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.**

Im GTR sucht man das Maximum der Funktion V(a) und findet folgende Werte:
Für $ a_{max} \approx 18,257\text{cm} $ wird das maximale Volumen $ V(a_{max}) \approx 3042,903 \text{cm}^3 $ erreicht. Für die Höhe gilt dann $ h \approx \frac{1000 - 18,257^2}{4\cdot 18,257} = 9,129\text{cm} $

(##) Das Aquarium Ein Aquarium soll exakt 2 Liter = 2000cm³ Volumen haben. Das Aquarium ist quaderförmig mit **quadratischer** Seitenfläche (auch wenn es in der Abbildung nicht so aussieht) und natürlich oben offen. Die Breite der Vorderseite des Aquariums wird mit b bezeichnet. Berechne die Maße so, dass möglichst wenig Material (also Oberfläche) verbraucht wird. Das Aquarium ist oben offen, so dass es also nur fünf Flächen gibt: Den Boden plus die vier sichtbaren Seiten. ***************************** * +------------------+ * * /| /| * * / | / | a * * +------------------+ | * * | | | | * * | +---------------|--+ * * | / | / * * |/ |/ a * * +------------------+ * * b * ***************************** **Vorarbeit: Zahlenbeispiele**

a=10cm ... b=20cm ... A=800cm² ... Vol: 2000cm³

**Lösung:**
**A) Zielfunktion aufstellen**

Die Oberfläche besteht aus drei rechteckigen Flächen (vorne, unten, hinten) und zwei quadratischen Flächen an den Seiten.
$ F = 3 \cdot \text{Großflächen} + 2 \cdot \text{Quadratflächen} $
bzw: $ F = 3 \cdot (a \cdot b) \quad + 2 \cdot a \cdot a $

**B) Nebenbedingung formulieren**

Das Volumen des Aquariums soll 2000cm³ betragen. Das Volumen dieses Quaders berechnet sich mit der Volumenformel für einen Quader:
$ \text{Volumen} = \text{Breite} \cdot \text{Länge} \cdot \text{Höhe} $
Konkret mit unseren Variablen heißt das:
$ 2000 = b \cdot a \cdot a \quad \Leftrightarrow \quad b = \frac{2000}{a^2} $

**C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen**

$ F(a) = 3 \cdot (a \cdot \frac{2000}{a^2} ) \quad + 2 \cdot a^2 $

**D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.**

Im GTR sucht man das Minimum der Funktion F(a) und findet folgende Werte:
Für $ a_{min} \approx 11,447\text{cm} $ wird die minimale Oberfläche $ F(a_{min}) \approx 786,222 \text{cm}^2 $ erreicht. Für die Breite gilt dann $ b \approx \frac{2000}{11,447^2} = 15,263\text{cm} $