(##) Mitschrift der Stunde vom 20. September 2019 Wir betrachten einen Münzwurf, bei dem drei Münzen gleichzeitig geworfen werden. Gezählt wird jeweils die Anzahl der Münzen, die "Kopf" zeigen.
Die Ergebnismenge lässt sich in Worten folgendermaßen beschreiben:
_Entweder zeigt **keine** der drei Münzen Kopf, oder **eine** der drei Münzen zeigt Kopf, oder **zwei** der drei Münzen zeigen Kopf, oder alle Münzen (also **drei** von drei) zeigen Kopf._
Mathematische Kurzschreibweise: S = {0,1,2,3}
Die zu diesem Zufallsexperiment zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht so aus: |Ergebnis |0 | 1 | 2 | 3| |------------------|-----|-----|-----|-----| |Wahrscheinlichkeit| $ \frac{1}{8} $ | $ \frac{3}{8} $ | $ \frac{3}{8} $ | $ \frac{1}{8} $ | Man kann hier z.B. ablesen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einem Wurf genau zwei von drei Münzen Kopf zeigen, $ P(2) = \frac{3}{8} $ sein muss. Die in der Tabelle angegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung ist plausibel, da alle Wahrscheinlichkeiten zusammenaddiert den Wert 1 ergeben:
$ P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{8} = 1 $ Man könnte sich nun für das Ereignis G interessieren: _Alle Münzen zeigen die gleiche Seite_
Man kann sich z.B. vorstellen, dass ein "Hütchenspieler" (also jemand, der auf der Straße Glücksspiele anbietet) die drei Münzen werfen lässt, und immer dann, wenn alle Münzen die gleiche Seite zeigen, ein Preis ausgezahlt wird.
Das Ereignis G ist eine "Zusammenfassung" der beiden _Ergebnisse_ "0 mal Kopf" und "3 mal Kopf". Man schreibt:
G = {0,3}
Und die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis G eintritt, berechnet man so:
$ P(G) = P(0) + P(3) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \quad = \quad \frac{2}{8} \quad = \quad \frac{1}{4} \quad = \quad 25\% $ Wir unterscheiden ja insgesamt 4 _Ergebnisse_ (siehe Menge S), und obwohl das Ereignis G zwei Ergebnisse enthält, ist P(G) eben _NICHT_ $ \frac{2}{4} $ , denn es handelt sich NICHT um ein Laplace-Experiment (Erinnerung: Bei einem Laplace-Experiment müssten alle Ergebniswahrscheinlichkeiten gleich sein. Aber die Zahlen $ \frac{1}{8} , \frac{3}{8} , \frac{3}{8} , \frac{1}{8} $ sind eben nicht gleich). (##) Beispiele und Übungen zum Thema Wahrscheinlichkeitsverteilung (###) Beispiel 1 Wir betrachten einen keilförmigen Spiel-"Würfel". Dieser entsteht, indem man einen echten Würfel mit 1 cm Kantenlänge diagonal schneidet. Die Seiten sind mit den Zahlen 1,2,3,4,5 beschriftet. Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis proportional zur Größe der entsprechenden Seitenfläche ist.
![Abbildung](20190919_wuerfel1.jpg) Für die schräge Seitenfläche (mit 3 beschriftet) gilt: Die Fläche ist ein Rechteck mit den Seitenlängen $ \sqrt{2} \cdot 1 \approx 1,414 $
Die Gesamtoberfläche beträgt: $ 3 + \sqrt{2} \approx 4,414 $ Die Ergebnismenge lautet: S = {1,2,3,4,5} Wir überlegen uns beispielhaft zunächst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Wurf einer Vier ist. Die Seite mit der "Vier" ist 0,5 cm² groß. Ihr Anteil an der Gesamtoberfläche ist also $ \approx\frac{0,5}{4,414} \approx 0,11 $
Analog berechnet man die Wahrscheinlichkeiten für die anderen Werte. Insgesamt kann man für die Wahrscheinlichkeitsverteilung folgende Wertetabelle angeben:
Dieses Zufallsexperiment ist kein Laplace-Experiment, da die Wahrscheinlichkeiten nicht alle identisch sind.
Bei unserem Experiment können wir folgendes Ereignis E festlegen:
E = "Der Keilwürfel landet auf einer Dreiecksseite" = { 4 , 5 }
Gib folgende Wahrscheinlichkeiten an: $ P(E) = P(4) + P(5) \approx 0,22 \quad $ und $ P(\bar{E}) = 1 - P(E) \approx 0,78 $ ---- (###) Beispiel 2 Wir betrachten einen quaderförmigen Spiel-"Würfel", eine Hälfte eines mittig vertikal geschnittenen Würfels mit 1 cm Kantenlänge. Die Seiten sind mit den Zahlen 1,2,3,4,5,6 beschriftet. Wir nehmen an, dass die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis proportional zur Größe der entsprechenden Seitenfläche ist.
![Abbildung](20190919_wuerfel2.jpg) Die Ergebnismenge lautet: S = {1,2,3,4,5,6} Wir stellen fest, dass die beiden quadratischen Seiten (mit 1 und 6 beschriftet) genau 1cm² groß sind. Die anderen Seiten sind jeweils 0,5cm² groß.
Die insgesamte Oberfläche ist also: A = 4cm²
Der _Anteil_ der mit 1 beschrifteten, quadratischen Fläche ist $ \frac{1}{4} $ , und dies ist auch direkt eine Wahrscheinlichkeit, die in die untenstehende Tabelle eingetragen werden kann:
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man folgende Wertetabelle angeben: |Ergebnis | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |-------------------|---|---|---|---|---|---| |Wahrscheinlichkeit | $ \frac{1}{4} $ | $ \frac{1}{8} $ | $ \frac{1}{8} $ | $ \frac{1}{8} $ | $ \frac{1}{8} $ | $ \frac{1}{4} $ | Dieses Zufallsexperiment ist kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Bei unserem Experiment können wir folgendes Ereignis E festlegen:
E = "Der Quader landet auf einer Quadratseite" = {1,6}
Gib folgende Wahrscheinlichkeiten an: $$ P(E) = P(1) + P(6) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0,5 = 50 \% \quad $$ und $ P(\bar{E}) = 1 - P(E) = 1 - 0,5 = 0,5 $
Dies Ergebnis erzeugt man auch (etwas umständlicher) mit: $$ P(\bar{E}) = P(2) +P(3) +P(4) +P(5) = \frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} +\frac{1}{8} = 0,5 $$ ---- (###) Beispiel 3 In einem Behälter sind insgesamt 10 Kugeln enthalten, die mit Ziffern beschriftet sind: Eine Kugel mit einer "1", zwei Kugeln mit einer "2", drei Kugeln mit einer "3" und vier Kugeln mit einer "4". Aus diesem Behälter zieht man nun eine Kugel heraus und schaut sich die Ziffer an. Die Ergebnismenge lautet: S={1 ,2 , 3 , 4 } Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man folgende Wertetabelle angeben:
Dieses Zufallsexperiment ist kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Bei unserem Experiment können wir folgendes Ereignis E festlegen:
E = "Die gezogene Ziffer hat als Wort ausgeschrieben die Buchstaben _ei_ am Ende" = { 2 , 3 }
Gib folgende Wahrscheinlichkeiten an: $ P(E) = 0,5 \quad $ und $ P(\bar{E}) = 0,5 $ ---- (###) Beispiel 4 In einer Klasse sind insgesamt 20 Kinder. Fünf der insgesamt 10 Jungs sind Brillenträger. Insgesamt gibt es 10 Kinder mit Brille in der Klasse. Ein Kind aus der Klasse wird per Zufall ausgewählt. Die Ergebnismenge lautet: S = { "Mädchen mit Brille","Mädchen ohne Brille","Junge mit Brille","Junge ohne Brille"}
oder kurz: S = {MmB, MoB, JmB, JoB} Aus dem Einleitungstext oben kann man schlussfolgern, dass es insgesamt 10 Mädchen geben muss wovon 5 eine Brille tragen. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man folgende Wertetabelle angeben:
Dieses Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment, da alle Ergebniswahrscheinlichkeiten gleich sind.
Bei unserem Experiment können wir folgendes Ereignis E festlegen:
E = "Das ausgewählte Kind ist ein Mädchen" = {MmB, MoB}
Berechnung von P(E) und $ P(\bar{E}) $ :
---- (###) Beispiel 5 (Pfadregeln) Man wirft drei (speziell beschriftete, aber faire) Münzen hintereinander.
Die erste Münze ist mit Null und Eins auf den Seiten beschriftet.
Die zweite Münze ist mit Plus und Minus auf den Seiten beschriftet.
Die dritte Münze ist (wie die erste) mit Null und Eins auf den Seiten beschriftet.
Damit erzeugt man eine kleine Rechenaufgabe, wobei das Ergebnis dieser Rechenaufgabe auch das Ergebnis des Zufallsversuchs darstellen soll. Beispiel: Man wirft "Null" "Plus" "Eins" und erhält das Ergebnis 1. Die Ergebnismenge lautet:
Zeichne einen Baum, an dem Du die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis ablesen kannst! Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man folgende Wertetabelle angeben:
Dieses Zufallsexperiment ist kein Laplace-Experiment, da nicht alle Ergebnisse identisch sind.
---- (###) Beispiel 6 (Pfadregeln) In einem Behälter liegen zwei Gegenstände: Eine Münze (mit Null und Eins auf den Seiten beschriftet) und ein Tetraeder (ein "Spielwürfel" mit vier Seiten, die mit 1,2,3,4 beschriftet sind). Man macht nun zwei "Runden":
1. Runde: Man zieht zufällig einen der beiden Gegenstände und wirft ihn. Der Gegenstand wird in den Behälter zurückgelegt.
2. Runde: Man zieht wieder zufällig einen der beiden Gegenstände und wirft ihn.
Das Ergebnis ist nun die Summe der beiden Würfe. Beispiel 1: Man zieht erst die Münze und wirft eine 1. Dann zieht man den Tetraeder und wirft eine 3. Ergebnis: 1+3 = 4.
Beispiel 2: Man zieht erst die Münze und wirft eine 1. Dann zieht man erneut die Münze und wirft eine 1. Ergebnis: 1+1 = 2.
Die Ergebnismenge lautet:
Zeichne einen Baum, an dem Du die Wahrscheinlichkeiten für jedes Ergebnis ablesen kannst!
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man folgende Wertetabelle angeben:
Bei unserem Experiment können wir folgendes Ereignis E festlegen:
E = "Das Ergebnis ist größer als 5" = {6,7,8}
Gib folgende Wahrscheinlichkeiten an:
$ P(E): $
$ P(\bar{E}): $
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