$ \newcommand{\myvec}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} $ (##) Hausaufgaben zum 26.09.2019: Seite 187 Nr 5 Es gilt: $ g: \quad \vec{x} = \myvec{0\\0\\8} + r \cdot \myvec{-8\\8\\-8} $
Die Schnittpunkte sind: $ S_1 \left( \frac{-8}{3} | \frac{8}{3} | \frac{16}{3} \right) $ und $ S_2 \left( \frac{-16}{3} | \frac{16}{3} | \frac{8}{3} \right) $ .
Schon aus den Werten, die man für den Parameter r der Geraden herausbekommt (nämlich $ r_1 = \frac{1}{3} $ und $ r_2 = \frac{2}{3} $ ) kann man ablesen, dass die Abstände alle gleich sein müssen.
Letzlich bedeuten die Werte, dass der erste Schnittpunkt auf "Ein Drittel der Strecke zwischen E und C" liegt, und entsprechend der zweite Schnittpunkt bei "Zwei Dritteln der Strecke". Damit wird die Strecke in drei gleich große Teile geteilt. ----- (##) Lineare Gleichungssysteme im GTR Da man bei der Untersuchung von Geraden und Ebenen im Raum andauernd auf Lineare Gleichungssysteme (LGS) trifft, ist es sinnvoll, diese auch schnell mit dem GTR (und nicht nur händisch) lösen zu können. Bevor man ein LGS mit dem GTR löst, muss man es in die Standardform bringen (alle Variablen auf die linke Seite, alle allein stehenden Zahlen bzw. Vektoren auf die rechte Seite). Der GTR akzeptiert im Standardmenü für LGS allerdings nur solche, bei denen die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Variablen ist. (Bei der Eingabe im GTR haben also die Matrizen genau eine Spalte mehr als die Anzahl der Zeilen). Damit wir auch andere Fälle untersuchen können, hier nun noch einmal eine kleine Übersicht: (###) Fall 1: Anzahl Zeilen = Anzahl Variablen Dieser Fall tritt auf, wenn man die Lagebeziehung Gerade-Ebene untersuchen möchte. Hier gibt es keine Sonderfälle zu beachten: Das LGS in Standardform lässt sich direkt eingeben. Man kann dann drei Fälle unterscheiden:
• Das LGS hat keine Lösung -> Gerade und Ebene haben keine gemeinsamen Punkte -> g verläuft parallel zu E.
• Das LGS hat ein Ergebnis -> Gerade und Ebene haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
• Der GTR zeigt an, dass eine Variable frei wählbar ist ( z=z oder sowas ) -> Das LGS hat $ \infty $ viele Ergebnisse -> Die Gerade liegt in der Ebene. (###) Fall 2: Anzahl Zeilen > Anzahl Variablen Dieser Fall tritt auf, wenn man die Lagebeziehung Gerade-Gerade untersuchen möchte. Das LGS in Standardform passt leider nicht direkt in den GTR, so dass man einen kleinen Umweg gehen muss. Angenommen, wir haben folgendes LGS: $$ \begin{align} 2r + 3t &= 5 \notag \\ 3r + 4t &= 7 \notag \\ 7r + 5t &= 12 \notag \\ \end{align} $$ (Hinweis vorweg: Das LGS hat genau eine Lösung, nämlich ( r=1 , s=1 ). )
Da der GTR bei Eingabe der drei Zeilen aber auch drei Variablen haben möchte, mogeln wir uns nun einfach eine Variable dazu: $$ \begin{align} 0a + 2r + 3t &= 5 \notag \\ 0a + 3r + 4t &= 7 \notag \\ 0a + 7r + 5t &= 12 \notag \\ \end{align} $$ Dieses neue LGS hat natürlich unendlich viele Lösungen, denn a ist ja immer frei wählbar. Aber das interessiert uns nicht. Dieses LGS können wir direkt in den GTR eingeben und erhalten nun völlig korrekt die Antwort: (a=a, r=1, t=1). Da uns a nicht interessiert, bleibt nur die eindeutige Lösung ( r=1 , s=1 ) übrig. Es gibt beim Fall g = g nun wieder unterschiedliche Fälle:
• Das LGS hat keine Lösung -> Die Geraden haben keine gemeinsamen Punkte -> Die Geraden verlaufen parallel oder windschief zueinander.
• Das LGS hat ein Ergebnis -> Die Geraden haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.
• Der GTR zeigt an, dass außer der "dazugemogelten" Variable eine weitere Variable frei wählbar ist -> Das LGS hat $ \infty $ viele Ergebnisse -> Die Geraden sind identisch. (In der Praxis hätte man diesen Fall aber schon vorher entdeckt, denn: ..... ) (###) Fall 3: Anzahl Zeilen < Anzahl Variablen Dieser Fall tritt auf, wenn man die Lagebeziehung Ebene-Ebene untersuchen möchte, denn wenn man zwei Ebenen gleichsetzt, hat man insgesamt vier Parameter in drei Gleichungen stecken. Im GTR wählen wir dann einfach das Untermenü für 4 Variablen und fügen als letzte Zeile einfach nur Nullen in die Matrix hinzu. Es gibt beim Fall E = E nun wieder unterschiedliche Fälle:
• Das LGS hat keine Lösung -> Die Ebenen haben keine gemeinsamen Punkte -> Die Ebenen verlaufen parallel zueinander.
• Das LGS hat $ \infty $ viele Lösungen, wobei ein Parameter frei wählbar ist -> .....
• Das LGS hat $ \infty $ viele Lösungen, wobei zwei Parameter frei wählbar sind -> .....
• Das LGS hat genau ein Ergebnis -> Kann nicht vorkommen, denn: .....