(##) Die Ziegenwiese Teil 1 ![Abbildung](20190920_ziegenwiese1.png width="15em") Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Es sind 100m Zaun verfügbar. Das eingezäunte Rechteck soll möglichst groß werden.

Mögliche Kombinationen: a=25m ..... b=50m ..... Fläche=1250m²
a=20m ..... b=60m ..... Fläche=1200m²
a=30m ..... b=40m ..... Fläche=1200m²
a=15m ..... b=70m ..... Fläche=1050m²
a frei ..... b=100-2a ..... Fläche= $ a \cdot b $
Damit ergibt sich die Flächenformel:
$ Fläche(a)= a \cdot (100-2a) $
oder $ f(x)= x \cdot (100-2x) = 100x - 2x² = -2x² + 100x $
Extrempunkt dieser Funktion:
$ f(x) = -2x² + 100x $
$ f'(x) = -4x + 100 $
Notwendige Bedingung für Extremstellen:
$ \begin{align}\quad f'(x) &= 0 \notag \\ -4x + 100 &= 0 \notag \\ \quad x &= 25 \notag \end{align} $
Bei x = 25 liegt also möglicherweise eine Extremstelle vor. Hinreichende Bedingung:
Monotonietabelle oder $ f''(x) $ oder Fernverhalten oder unser Wissen über quadratische Funktionen liefert: Bei x=25 liegt ein Maximum. Im Sachzusammenhang ist dies der Wert für a.
Der Wert für b muss lauten:
$ b= 100-2a = 100 - 2 \cdot 25 = 50 $
Der Flächeninhalt lautet: $ f(25) = 1250 $
(##) Die Ziegenwiese Teil 2 Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Es sind 250m Zaun verfügbar. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Das eingezäunte Rechteck soll möglichst groß werden. Rechteck-Fläche $ F = a \cdot b $
(Was soll extremal werden? Zielfunktion!) Drei Seiten Zaun: $ 250 = b + 2a $ (Nebenbedingung) Nebenbedingung umformen: $ \quad b = 250 - 2a $
Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen: $$ F(a) = a \cdot (250 - 2a) $$ Diese Funktion ist nur noch von einer einzigen Variablen abhängig. Und daher können wir sie mit bekannten Mitteln auf Extremwerte untersuchen! GTR liefert den HP(62,5 | 7812,5)
Im Sachkontext bedeutet das: Für a=62,5m erhält man den maximalen Flächeninhalt von 7812,5 m². Setzt man a = 62,5m in die obige Nebenbedingung ein, so erhält man b=125m. (##) Die Ziegenwiese Teil 3 ![Abbildung](20190920_ziegenwiese2.png width="15em") Es soll wieder eine rechteckige Wiese an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Das Flussufer besteht aber leider aus Geröll (grau markiert), so dass die Ziege diesen Bereich nicht grasen kann. Es soll nun jene Zaunabmessung gefunden werden, bei der die **Nutzfläche** (weiß mit Ziege) möglichst groß wird. Vorgaben:
Es sind 100m Zaun verfügbar.
Der Uferstreifen ist d=4 Meter breit. Vorarbeit:
Zahlenbeispiele erzeugen: a=20m .... b=60m ..... Nutzfläche=960m²
a=14m .... b=72m ..... Nutzfläche=720m² Lösung:
A) Zielfunktion aufstellen ("Was soll maximal/minimal werden?")
Die Nutzfläche (d.h. eingezäunter Bereich minus Uferbereich) soll maximal werden: $$ N = (a-4) \cdot b = a \cdot b - 4\cdot b$$ B) Nebenbedingung formulieren ("Wie hängen die Variablen voneinander ab?")
Zusammenhang zwischen a und b: $$ 100 = b + 2a \quad \Leftrightarrow \quad b = 100-2a $$ C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen (nur noch eine Variable enthalten!) und Funktion untersuchen
$$ N(a) = (a-4) \cdot (100 - 2a) $$ Dies ist eine Funktion, die nur noch von der Variablen a abhängt. Extremwertsuche im GTR liefert:
HP( 27 | 1058 ) D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren. Diese Werte bedeuten im Sachkontext:
Für a=27m ergibt sich eine maximale Nutzfläche von 1058m². Der Wert für b wäre dann: $$ b = 100 - 2 \cdot 27 = 46 $$ (##) Die Ziegenwiese Teil 4 Bearbeite die obige Aufgabe noch einmal, diesmal allerdings mit anderen Vorgaben: Es sind 200m Zaun verfügbar.
Der Uferstreifen ist d=6 Meter breit. (##) Die Ziegenwiese Teil 5 ![Abbildung](20190920_ziegenwiese1.png width="15em") Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Es soll eine Fläche von genau 1500m² eingezäunt werden. Der Zaunverbrauch soll dabei minimal werden!
Hinweis: Die Funktionsuntersuchung kann im GTR erfolgen. Vorarbeit - Zahlenbeispiele:
a=50m .... b=30m ..... Zaunverbrauch=130m
a=10m .... b=150m .... Zaunverbrauch=170m
a=30m .... b=50m ..... Zaunverbrauch=110m
Lösung:
A) Zielfunktion aufstellen ("Was soll maximal/minimal werden?")
Der Zaunverbrauch soll minimal werden:
$$ V = 2a + b $$ B) Nebenbedingung formulieren ("Wie hängen die Variablen voneinander ab?")
$$ 1500 = a \cdot b \quad \Leftrightarrow \quad \frac{1500}{a} = b $$ C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen (nur noch eine Variable enthalten!) und Funktion untersuchen
$$ V(a) = 2a + \frac{1500}{a} $$ GTR liefert den TP(27,39 | 109,54 ) D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.
Wählt man a = 27,39 Meter, so kann man die 1500m² mit dem minimalen Zaunverbrauch von 109,54 Meter einzäunen. In diesem Fall berechnet sich b mit der Formel aus der Nebenbedingung: $ b = \frac{1500}{a} = 54,76 $ Meter. (##) Die Ziegenwiese Teil 6 ![Abbildung](20190920_ziegenwiese2.png width="15em") Es soll ein rechteckiger Bereich an einem Fluss eingezäunt werden. Nur drei Seiten müssen mit Zaun begrenzt werden, die vierte Seite liegt am Fluss. Es soll eine Fläche von genau 1500m² eingezäunt werden. Außerdem ist ein Uferstreifen von d=4 Meter nicht als Grasfläche nutzbar. Ermittle die Maße, so dass der Zaunverbrauch dabei minimal wwird!
Hinweis: Die Funktionsuntersuchung kann im GTR erfolgen. (##) Die Papierschachtel ![Abbildung](20190920_schachtel.png width="15em") Aus einem DinA3-Blatt (30cm breit und 42cm lang) soll eine Schachtel gebaut werden, indem man an allen vier Rändern eine Kante der Breite x hochklappt. Die an den Ecken entstehenden Quadrate mit Seitenlänge x können einfach weggeschnitten werden. Bestimme das x so, dass die entstehende Schachtel ein maximal großes Volumen erhält! Vorarbeit:
Zahlenbeispiele erzeugen! Lösung:
A) Zielfunktion aufstellen ("Was soll maximal/minimal werden?")
B) Nebenbedingung formulieren ("Wie hängen die Variablen voneinander ab?")
C) Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen (nur noch eine Variable enthalten!) und Funktion untersuchen
D) Ergebnisse korrekt interpretieren und Antwortsatz formulieren.