plusplanet :: Mathematik EF G3 (SJ 24/25)

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Schulinfos von F. Töns

19.03.2025

05.12.2024

Themen für die kommende Klausur am 12.12.2024

Grundlagen der Analysis
• Grundlagen in der Rechentechnik: Bruchrechnung beherrschen, Ausmultiplizieren und Ausklammern können
• Funktionen, Wertetabelle und Funktionsgraphen:
  • Lineare Funktionen der Gestalt: f(x) = m·x + b wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Solche Geraden sollte man direkt zeichnen können. Andersherum muss man aus einer Abbildung einer Geraden die Funktionsgleichung aufstellen können
  • Quadratische Funktionen: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln und umgekehrt.
  • Auch von anderen Funktionen Wertetabelle erstellen und Funktionsgraph zeichnen können. (Beispielsweise f(x) = x² oder f(x) = 1/x oder ähnliche Funktionen)
• Begriffe "Potenzfunktion" und "ganzrationale Funktion" verstehen. Von diesen Funktionen Nullstellen berechnen können (z.B. bei f(x)=x³+2x²+x müsste man bei der Frage nach den Nullstellen die Gleichung x³+2x²+x = 0 lösen (diese hätte die Lösungen x=0 und x=-1)   $/!\$ Diese Beispielaufgabe wurde nun korrigiert)
• Graph einer Ableitungsfunktion skizzieren können durch Schätzen der Steigungen der Tangenten an die ursprüngliche Funktion
• Ableitungsfunktionen selbst angeben können mit den drei Regeln: Potenzregel, Faktorregel, Summenregel
• Entscheiden, in welchen Intervallen eine Funktion fällt oder steigt, um damit Hoch- und Tiefpunkte einer Funktion zu finden.

Ein Taschenrechner ist in der Klausur erlaubt.
Falls Leute aus Parallelkursen oder in der Nachhilfe etwas vom "Differenzenquotienten" oder der "h-Methode" bzw. "xNull-Methode" erklären wollen: Das kommt in der Klausur nicht vor!

Rechenbeispiele zum Finden von Hoch- oder Tiefpunkten

Beispiel A:



Ermittle die Extrempunkte der Funktion f(x) = x² - 4x

Lösung:

[Wir wissen, dass eine Funktion nur dort Extrempunkte haben kann, wo sie waagerechte Tangenten besitzt - d.h. an den Stellen, wo die Tangentensteigung gleich Null ist - d.h. wo die Ableitung f' eine Nullstelle besitzt. Also ermitteln wir die Ableitung und bestimmen davon die Nullstellen.]

1.) Ableitung ermitteln: f'(x) = 2x - 4

2.) Nullstellen der Ableitung ermitteln. Wir lösen folgende Gleichung:

         f'(x) = 0

        2x - 4 = 0

             x = 2

[Also kann höchstens an der "verdächtigen" Stelle x = 2 ein Extrempunkt liegen. Wir geben dieser Stelle mal den Namen "xNull", also x₀ = 2. Wir wissen aber noch nicht, ob dort ein Hoch- oder Tief- oder Sattelpunkt vorliegt. Daher schauen wir, welcher der vier folgenden Fälle vorliegt:

• Wenn der Graph von f vor x₀ erst steigt und danach fällt, so liegt bei x₀=2 eine Maximalstelle ("Hochstelle") vor.

• Wenn der Graph von f vor x₀ erst fällt und danach steigt, so liegt bei x₀=2 eine Minimalstelle ("Tiefstelle") vor.

• Wenn der Graph von f vor x₀ erst fällt und danach ebenfalls fällt, so liegt bei x₀=2 eine Sattelstelle vor.

• Wenn der Graph von f vor x₀ erst steigt und danach ebenfalls steigt, so liegt bei x₀=2 eine Sattelstelle vor.

Welcher dieser Fälle nun vorliegt, überprüfen wir, indem wir "kurz vor" x₀ und "kurz hinter" x₀ testen, wie sich dort die Steigungen der Tangenten verhalten:

]



3.) Art der verdächtigen Stelle ermitteln:

Es gilt:

f'(1) = -2

f'(2) = 0

f'(3) = 2



[An der Stelle x=1 (d.h. "kurz vor x₀") hat die Tangente an f also eine negative Steigung, d.h. der Graph von f fällt vor x₀. An der Stelle x=3 (d.h. "kurz hinter x₀") hat die Tangente an f also eine positive Steigung, d.h. der Graph von f steigt hinter x₀.]



Da die Ableitung bei x₀=2 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus besitzt, liegt an der Stelle x₀ = 2 eine Minimalstelle vor.



[Die Wahl von 1 und 3 ist recht willkürlich, solange die Position einmal "kurz vor" und einmal "kurz dahinter" gewählt wird. Beispielsweise hätte man als Stelle davor auch -7 wählen können und man würde erhalten f'(-7) = -18 was an der Aussage aber nichts ändern würde, dass der Funktionsgraph erst fällt und dann steigt. Wichtig ist nur, dass zwischen den beiden "Teststellen" und x₀ keine weiteren Nullstellen der Ableitung liegen - das wird später klar.]



4.) Y-Wert ermitteln:

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x₀=2 lautet: f(2) = -4

Also hat die Funktion f den Tiefpunkt (2|-4)



[Nur zum Verständnis: Der Tiefpunkt bei (2|-4) ist natürlich der Scheitelpunkt der Parabel mit der Funktionsgleichung f(x) = x² - 4x welche sich auch in Scheitelpunktform darstellen lässt: f(x) = (x-2)² - 4 und hier kann man den Scheitelpunkt natürlich auch direkt ablesen. Eine solche "Scheitelpunktform" (oder ähnliches) gibt es aber bei den nächsten Beispielen aber nicht, so dass wir auf die Untersuchung der Ableitung angewiesen sind.]

Beispiel B:



Ermittle die Extrempunkte der Funktion f(x) = 2x³ - 6x

Lösung:

[Wir wissen, dass eine Funktion nur dort Extrempunkte haben kann, wo sie waagerechte Tangenten besitzt - d.h. an den Stellen, wo die Tangentensteigung gleich Null ist - d.h. wo die Ableitung f' eine Nullstelle besitzt. Also ermitteln wir die Ableitung und bestimmen davon die Nullstellen.]

1.) Ableitung ermitteln: f'(x) = 6x² - 6

2.) Nullstellen der Ableitung ermitteln. Wir lösen folgende Gleichung:

           f'(x) = 0

        6x² - 6  = 0   | durch 6 teilen

         x² - 1  = 0   | +1

              x² = 1   | Wurzel ziehen

         x_A=1 oder x_B=-1

              

[Also kann höchstens an den "verdächtigen" Stellen x = 1 und x=-1 ein Extrempunkt liegen. Wir geben dieser Stelle mal folgende Namen: x_A = 1 und x_B = -1.  Wir wissen aber noch nicht, ob dort Hoch- oder Tief- oder Sattelpunkte vorliegen. Daher schauen wir, welcher der vier folgenden Fälle vorliegt:

• Wenn der Graph von f vor x_A erst steigt und danach fällt, so liegt bei x_A=1 eine Maximalstelle ("Hochstelle") vor.

• Wenn der Graph von f vor x_A erst fällt und danach steigt, so liegt bei x_A=1 eine Minimalstelle ("Tiefstelle") vor.

• Wenn der Graph von f vor x_A erst fällt und danach ebenfalls fällt, so liegt bei x_A=1 eine Sattelstelle vor.

• Wenn der Graph von f vor x_A erst steigt und danach ebenfalls steigt, so liegt bei x_A=1 eine Sattelstelle vor.

(analog mit Stelle x_B)

Welcher dieser Fälle nun vorliegt, überprüfen wir, indem wir "kurz vor" x_A und "kurz hinter" x_A testen, wie sich dort die Steigungen der Tangenten verhalten (und tun dies natürlich auch entsprechend bei x_B)]



3.) Art der verdächtigen Stellen ermitteln:

Es gilt:

f'(-2) = 18   | Stelle links von x_B

f'(-1) = 0    | bereits bekannte Nullstelle x_B

f'(0)  = -6   | Stelle rechts von x_B und gleichzeitig links von x_A

f'(1) = 0     | bereits bekannte Nullstelle x_A

f'(2)  = 18   | Stelle rechts von x_A



Da die Ableitung bei x_B=-1 einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzt, liegt an der Stelle x_B =-1 eine Maximalstelle vor.

Da die Ableitung bei x_A= 1 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus besitzt, liegt an der Stelle x_A = 1 eine Minimalstelle vor.



[Die Wahl der Teststellen -2 und 0 und 2 sind wieder recht willkürlich, solange die Positionen jeweils "kurz vor" und einmal "kurz dahinter" gewählt werden. Etwas Vorsicht ist aber geboten: eine Teststelle "kurz hinter" x_B=-1 könnte ja statt der 0 auch die Stelle 100 sein, oder? Nein, denn zwischen x_B=-1 und Teststelle x=1000 liegt die andere verdächtige Stelle x_A. D.h. anstelle der Teststelle 0 hätte man zwar -0.9 oder -0.2 oder 0.5 oder 0.99 nehmen können (alle liegen zwischen x_B und x_A), aber eben nicht die 1000.]



4.) y-Werte ermitteln

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x_B= -1 lautet: f(-1) = 4

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x_A=  1 lautet: f( 1) = -4

Also hat die Funktion f den Hochpunkt (-1| 4)

Also hat die Funktion f den Tiefpunkt ( 1|-4)

Beispiel C:



Ermittle die Extrempunkte der Funktion f(x) = 3x⁴ - 4x³ + 2

Lösung:

[Wir wissen, dass eine Funktion nur dort Extrempunkte haben kann, wo sie waagerechte Tangenten besitzt - d.h. an den Stellen, wo die Tangentensteigung gleich Null ist - d.h. wo die Ableitung f' eine Nullstelle besitzt. Also ermitteln wir die Ableitung und bestimmen davon die Nullstellen.]

1.) Ableitung ermitteln: f'(x) = 12x³ - 12x²

2.) Nullstellen der Ableitung ermitteln. Wir lösen folgende Gleichung:

           f'(x) = 0

    12x³ - 12x²  = 0   | durch 12 teilen

         x³ - x² = 0   | x² ausklammern

        x²·(x-1) = 0   | SvNP

        x² = 0 oder (x-1)=0

		x_A  = 0 oder    x_B =1

              

[Also kann höchstens an den "verdächtigen" Stellen x = 0 und x=1 ein Extrempunkt liegen. Wir geben dieser Stelle mal folgende Namen: x_A = 0 und x_B = 1.  Wir wissen aber noch nicht, ob dort Hoch- oder Tief- oder Sattelpunkte vorliegen. Daher schauen wir, welcher der vier folgenden Fälle vorliegt:

(... Rest des Gedankens identisch mit den anderen Beispielen ...)]



3.) Art der verdächtigen Stellen ermitteln:

Es gilt:

f'(-1) = -24    | Stelle links von x_A

f'(0) = 0       | bereits bekannte Nullstelle x_A

f'(0.5) = -1.5  | Stelle rechts von x_A und gleichzeitig links von x_B

f'( 1) = 0      | bereits bekannte Nullstelle x_B

f'(2)  = 48     | Stelle rechts von x_B



Da die Ableitung bei x_A= 0 keinen Vorzeichenwechsel besitzt (davor und danach Minus), liegt an der Stelle x_A = 0 eine Sattelstelle vor.

Da die Ableitung bei x_B= 1 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus besitzt, liegt an der Stelle x_B = 1 eine Minimalstelle vor.



[Die Wahl der Teststelle 0.5 wirkt unschön, da man mit Kommazahlen oder Brüchen hantieren muss. Da wir aber eine Teststelle zwischen den beiden verdächtigen Stellen x_A und x_B brauchen, können wir nicht anders.]



4.) y-Werte ermitteln

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x_A= 0 lautet: f(0) = 2

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x_B= 1 lautet: f(1) = 1

Also hat die Funktion f den Sattelpunkt (0| 2)

Also hat die Funktion f den Tiefpunkt   (1| 1)

Beispiel D:



Ermittle die Extrempunkte der Funktion f(x) = x³ - 6x² + 9x

Lösung:

1.) Ableitung ermitteln: f'(x) = 3x² - 12x + 9

2.) Nullstellen der Ableitung ermitteln. Wir lösen folgende Gleichung:

           f'(x) = 0

  3x² - 12x + 9  = 0   | durch 3 teilen

   x² -  4x + 3  = 0   | pq-Formel etc.

    x_A  = 1 oder    x_B =3

              

3.) Art der verdächtigen Stellen ermitteln:

Es gilt:

f'(0) = 9   | Stelle links von x_A

f'(1) = 0   | bereits bekannte Nullstelle x_A

f'(2) = -3  | Stelle rechts von x_A und gleichzeitig links von x_B

f'(3) = 0   | bereits bekannte Nullstelle x_B

f'(4) = 9   | Stelle rechts von x_B



Da die Ableitung bei x_A= 1 einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus besitzt, liegt an der Stelle x_A = 1 eine Maximalstelle vor.

Da die Ableitung bei x_B= 3 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus besitzt, liegt an der Stelle x_B = 3 eine Minimalstelle vor.



4.) y-Werte ermitteln

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x_A= 1 lautet: f(1) = 4

Der y-Wert der Funktion f an der Stelle x_B= 3 lautet: f(3) = 0

Also hat die Funktion f den Hochpunkt (1| 4)

Also hat die Funktion f den Tiefpunkt (3| 0)

02.10.2024

Themen für die kommende Klausur am 10.10.2024

Themen der Analysis
• Grundlagen in der Rechentechnik: Bruchrechnung beherrschen, Ausmultiplizieren und Ausklammern können
• Funktionen, Wertetabelle und Funktionsgraphen:
  • Lineare Funktionen der Gestalt: f(x) = m·x + b wobei m die Steigung und b der y-Achsenabschnitt ist. Solche Geraden sollte man direkt zeichnen können. Andersherum muss man aus einer Abbildung einer Geraden die Funktionsgleichung aufstellen können
  • Die Funktion "Abrunden(x)" verstehen und anwenden können. Die Funktion säge(x) = x-Abrunden(x) verstehen und anwenden können. Die Graphen dieser Funktionen zeichnen können. Verschiebungen und Streckungen von säge(x) in x-Richtung und y-Richtung im Funktionsterm darstellen.
  • Auch von anderen Funktionen Wertetabelle erstellen und Funktionsgraph zeichnen können. (Beispielsweise f(x) = x² oder f(x) = 1/x oder ähnliche Funktionen)
• Anwendung von Funktionen: Optimierungsprobleme mit dem Aufgabentyp "Schachtel" oder "Schaufel" oder "zerbrochene Scheibe". Hier muss man die Funktion aufstellen können, von der wir das Optimum suchen (z.B. das größte Schachtelvolumen) und den Zusammenhang verstehen, wenn in der Klausur ein Funktionsgraph dieser Funktion abgebildet wird (Erinnerung: Im Unterricht haben wir mit Hilfe einer Darstellung des Funktionsgraphen in Geogebra das Optimum aus dem Graphen abgelesen).
• Quadratische Funktionen: Normalform in Scheitelpunktform umwandeln und umgekehrt.

Hinweis: Da kein Taschenrechner erlaubt ist, sind alle Aufgaben in der Klausur mit den Rechenfähigkeiten aus der Sekundarstufe 1 lösbar.

Übungstipps:

Übungsaufgaben für die Grundlagen:
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_1_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_1
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_2
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_3
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_4
http://www.plusplanet.de/loesungsarchiv/index.html#anker1_1_2_5

Weitere Aufgabentypen, die drankommen können:
Aufgabe 1: Zeichne die Funktion
a) f(x) = säge(-x) + 1
b) f(x) = 2·säge(x) - 1
c) f(x) = säge(0,5·x) - 2
Es ist auch vorstellbar, dass ich diese Aufgaben "umdrehe", Euch also Graphen vorlege, zu denen Ihr einen Funktionsterm angeben sollt.

Aufgabe 2: Aus einem quadratisches Stück Papier mit der Seitenlänge 9cm x 9cm soll (wie im Unterricht) eine Schachtel gebaut werden.
a) Berechne das Schachtelvolumen für den Randabstand x=1cm und x=2cm und x=3cm
b) Stelle eine Formel auf, mit der man direkt das Schachtelvolumen für einen beliebigen Wert von x berechnen kann.
c) Zeichne die Funktion in einem Funktionsplotter, lies das Maximum der Funktion ab und interpretiere den Wert im Sachkontext.